《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第二章2．1柯西不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第二章2．1柯西不等式（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案121柯西不等式对应学生用书P28读教材填要点1平面上的柯西不等式的代数和向量形式(1)定理 1(柯西不等式的代数形式)设 a1，a2，b1，b2均为实数，则(a a )(b b )(a1b1a2b2)2.2 12 22 12 2上式等号成立a1b2a2b1.(2)定理 2(柯西不等式的向量形式)设 ， 为平面上的两个向量，则|上式中等号成立向量 和 共线(平行)存在实数 0，使得 .(3)定理 3：设 a1，a2，b1，b2为实数，则 a2 1a2 2b2 1b2 2a1b12a2b22等号成立存在非负实数 及 ，使得a1b
2、1，a2b2.(4)定理 4(平面三角不等式)设 a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则 .a1b12a2b22b1c12b2c22a1c12a2c22等号成立存在非负实数 及 使得：(a1b1)(b1c1)，(a2b2)(b2c2)(5)定理 5：设 ， 为平面向量，则|当 ， 为非零向量时，上面不等式中等号成立存在正常数 ，使得()向量 与 同向，即夹角为零2柯西不等式的一般形式定理 设 a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(a a a )2 12 22 n(b b b )|a1b1a2b2anbn|，1 22 12 22 n1 22017-2018 学年高中数学人教 B 版
3、选修 4-5 同步教学案2其中等号成立(当某 bj0 时，认为 aj0，j1,2，n)a1b1a2b2anbn小问题大思维1在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成吗？a1a2b1b2提示：不可以当 a2b20 时，柯西不等式成立，但不成立a1a2b1b22在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成 aibi(i1,2,3，n)，可以吗？提示：不可以，aibi的顺序要与左侧 ai，bi的顺序一致3在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为 aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？提示：不可以若 bi0 而 ai0，则 k 不存在对应学生用书P29利用平面上的柯西不等式证明有关不
4、等式例 1 已知 a，b，c 为正数，且满足 acos2bsin2 .2ab2bc2ca9abc思路点拨 本题考查三维形式的柯西不等式的应用解答本题需要构造两组数据，；，然后利用柯西不等式解决abbcca1ab1bc1ca精解详析 构造两组数，；，则由柯西不等式得abbcca1ab1bc1ca(abbcca)(111)2，(1ab1bc1ca)即 2(abc)9，(1ab1bc1ca)于是.2ab2bc2ca9abc由柯西不等式知，中有等号成立abbccaabc.ab1abbc1bcca1ca因题设，a，b，c 不全相等，故中等号不成立，于是.2ab2bc2ca9abc柯西不等式的结构特征可以
5、记为(a1a2an)(b1b2bn)()2，其中 ai，bi均为正实数(i1,2，n)，在使用柯西不等a1b1a2b2anbn2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案4式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键2设 a，b，c 为正数，求证：abc.a2bb2cc2a证明：(abc)(a2bb2cc2a)()2()2()2(ab)2(bc)2(ca)2bca2(abc)2，(ab bbc cca a)即(abc)(abc)2，(a2bb2cc2a)又 a，b，c 为正实数，abc0.abc.a2bb2cc2a利用柯西
6、不等式求最值例 3 设 2x3y5z29，求函数 u 的最大值2x13y45z6思路点拨 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号精解详析 根据柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6)(111)2，2x13y45z6故2.2x13y45z630当且仅当 2x13y45z6，即 x，y，z时等号成立，3762892215此时 umax2.30利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件3设 x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z，则 xyz_.142017-2018 学年高中数学人教 B 版选修
7、4-5 同步教学案5解析：根据柯西不等式可得，(x2y2z2)(122232)(x2y3z)214，所以要取到等号，必须满足 ，结合 x2y3z，可得 xyz.x1y2z3143 147答案：3 147对应学生用书P30 一、选择题1若 a，bR，且 a2b210，则 ab 的取值范围是( )A2，2 B2，2551010C， D(，101055解析：a2b210，(a2b2)(1212)(ab)2，即 20(ab)2，2ab2.55答案：A2已知 x，yR，且 xy1，则的最小值为( )(11x)(11y)A4 B2C1 D14解析：24，故选 A.(11x)(11y)(11xy)答案：A3
8、已知 4x25y21，则 2xy 的最大值是( )5A. B12C3 D9解析：2xy2x1y1.554x25y212121222xy 的最大值为.52答案：A4设 a1，a2，an为实数，P，Q，则 P 与a2 1a2 2a2 nna1a2annQ 的大小关系为( )APQ BPQ2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案6CPQ D不确定解析：由柯西不等式知(a a a ) 2 12 22 n1 2111n1 44 2 4 4 3个1 2a1a2an， a1a2an.a2 1a2 2a2 nn即得 ，PQ.a2 1a2 2a2 nna1a2ann答案：B二、填空题
9、5设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P，Q，则 P 与abcdmancbmdnQ 的大小_解析：由柯西不等式，得P Q.ambmnc dn am2 nc2(bm)2(dn)2amncbmdn答案：PQ6(陕西高考)设 a，b，m，nR，且 a2b25，manb5，则 的最小值m2n2为_解析：由柯西不等式得(manb)2(m2n2)(a2b2)，即 m2n25，当且仅当 时manb等号成立，所求最小值为.m2n255答案：57函数 y2cos x3的最大值为_1cos 2x解析：y2cos x32cos x3.1cos 2x2sin2xcos2xsin2x223 2222当且仅当，即 t
10、an x时，函数有最大值.cos xsin2x23 23 2222答案：228已知 x，y，z 均为正实数，且 xyz1，则 的最小值为_1x4y9z解析：利用柯西不等式由于(xyz)(1x4y9z)Error!Error!236，2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案7所以 36.1x4y9z当且仅当 x2 y2 z2，即 x ，y ，z 时，等号成立 的最小值为 36.14191613121x4y9z答案：36三、解答题9已知实数 a、b、c 满足 a2bc1，a2b2c21.求证： c1.23证明：因为 a2bc1，a2b2c21，所以 a2b1c，a2b2
11、1c2.由柯西不等式得：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得 c1. c1.232310已知 x，y，zR，且 x2y3z4，求 x2y2z2的最小值解：由柯西不等式，得x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)，即(x2y3z)214(x2y2z2)，即 1614(x2y2z2)所以 x2y2z2 ，当且仅当 x，即当 x ，y ，z 时，87y2z3274767x2y2z2的最小值为 .8711已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，求 a 的最值解：由柯西不等式，有(2b23c26d2)(bcd)2，(121316)即 2b23c26d2(bcd)2，由条件可得，5a2(3a)2，解得 1a2，当且仅当时等号成立，2b123c136d162017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案8代入 b ，c ，d 时，amax2，121316代入 b1，c ，d 时，amin1.2313
