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1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案131数学归纳法原理对应学生用书P40读教材填要点1数学归纳法原理对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题 p(n)，可以用以下两个步骤来证明它的正确性：(1)证明当 n 取初始值 n0(例如 n00，n01 等)时命题成立；(2)假设当 nk(k 为自然数，且 kn0)时命题正确，证明当 nk1 时命题也正确在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值 n0开始的所有自然数都正确2数学归纳法的基本过程小问题大思维1在数学归纳法中，n0一定等于 0 吗？提示：不一定n0是适合命题的自然数中的最小值，有时是 n00 或 n0
2、1，有时 n0值也比较大，而不一定是从 0 开始取值2数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明3数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步“验证 nn0时，命题成立” ，是归纳奠基、是推理证明的基础第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于 n 取第一个值 n0后面的所有自然数也都成立2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案2对应学生用书P40用数学归纳法证明恒等式例 1 用数学归纳法证明：1 (nN)12131412n112n1n11n212n思路点拨 本题考查数学归
3、纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有 2n 项，右边有 n 项，由 k 到 k1 时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“nk”到“nk1”时，要注意项的合并精解详析 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 ，命题成立121212(2)假设当 nk(k1，且 kN)时命题成立，即有1 12131412k112k.1k11k212k则当 nk1 时，左边1 12131412k112k12k112k21k11k212k12k112k2，1k21k312k112k2从而可知，当 nk1 时，命题亦成立由(1)(2)可知，命题对一切正整数 n 均成立(1)用数学
4、归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述 nn0时命题的形式，二是准确把握由 nk 到 nk1 时，命题结构的变化特点(2)应用数学归纳法时的常见问题第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是 n0，有时需验证 n1，n2.对 nk1 时式子的项数以及 nk 与 nk1 的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障“假设 nk 时命题成立，利用这一假设证明 nk1 时命题成立” ，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案3谨、规范1用数学归纳法证明：对任意的 nN，.
5、11 313 512n12n1n2n1证明：(1)当 n1 时，左边 ，右边 ，左边右边，等式成11 31312 1113立(2)假设当 nk(kN且 k1)时等式成立，即有，11 313 512k12k1k2k1则当 nk1 时，11 313 512k12k112k12k3k2k112k12k3k2k312k12k3，2k23k12k12k3k12k3k12k11所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 nN等式都成立用数学归纳法证明整除问题例 2 求证：二项式 x2ny2n(nN)能被 xy 整除思路点拨 本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将x2ny
6、2n进行分解因式得出 xy，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明精解详析 (1)当 n1 时，x2y2(xy)(xy)，能被 xy 整除(2)假设 nk(k1，且 kN)时，x2ky2k能被 xy 整除，当 nk1 时，即 x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与 x2y2都能被 xy 整除，2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案4x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被 xy 整除即 nk1 时，x2k2y2k2能被 xy 整除由(1)(2)可知，对任意的正整数 n 命题均成立利用数学归纳
7、法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对 x2k2y2k2进行拼凑，即减去 x2y2k再加上 x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出 nk 时的归纳假设，剩余部分仍能被 xy 整除2求证：n3(n1)3(n2)3能被 9 整除证明：(1)当 n1 时，13(11)3(12)336，能被 9 整除，命题成立(2)假设 nk 时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被 9 整除当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)由归纳假设
8、，上式中 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除，又 9(k23k3)也能被 9 整除故 nk1 时命题也成立由(1)(2)可知，对任意 nN*命题成立.用数学归纳法证明几何命题例 3 平面上有 n(n2，且 nN)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这 n 条直线被分成 f(n)n2.思路点拨 本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n 的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明精解详析 (1)当 n2 时，符合条件的两直线被分成 4 段，又 f(2)224.当 n2 时，命题成立(2)假设当 nk(k2 且 kN)时命题成立，就是该平面内满足题设
9、的任何 k 条直线被分成 f(k)k2段，则当 nk1 时，任取其中一条直线记为 l，如图，剩下的 k 条直线为 l1，l2，lk.由归纳假设2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案5知，它们被分为 f(k)k2段由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线 l 被 l1，l2，l3，lk分为 k1 段，同时 l 把 l1，l2，lk中每条直线上的某一段一分为二，其增加 k 段f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2.当 nk1 时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切 nN且 n2 成立对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一般变化规律
10、，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由 nk 到 nk1 时几何图形的变化规律3证明：凸 n 边形的对角线的条数 f(n) n(n3)(n4)12证明：(1)n4 时，f(4) 4(43)2，四边形有两条对角线，命题成立12(2)假设 nk 时命题成立，即凸 k 边形的对角线的条数 f(k) k(k3)(k4)12当 nk1 时，凸 k1 边形是在 k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点 Ak1，增加的对角线条数是顶点 Ak1与不相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak，共增加的对角线条数为(k13)1k1.f(k1
11、) k(k3)k1 (k2k2)1212 (k1)(k2) (k1)(k1)31212故 nk1 时由(1)、(2)可知，对于 n4，nN公式成立对应学生用书P42 一、选择题1用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步 nk时等式成立，则当 nk1 时应得到( )A12222k22k12k112017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案6B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析：由条件知，左边是从 20,21一直到 2n1都是连续的，因此当 nk1 时，左边应为 12222k12k，而右边应为
12、 2k11.答案：D2用数学归纳法证明：(n1)(n2) (nn)2n13(2n1)时，从“k 到k1”左边需增乘的代数式是( )A2k1 B2k1k1C2(2k1) D2k2k1解析：当 nk1 时，左边(k11)(k12) (k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1)2k12k2k1答案：C3某个命题与正整数 n 有关，如果当 nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1 时，命题也成立现已知当 n5 时该命题不成立，那么可推得( )A当 n6 时该命题不成立B当 n6 时该命题成立C当 n4 时该命题不成立D当 n4 时该命题成立解析：与“如果当
13、 nk(kN)时命题成立，那么可推得当 nk1 时命题也成立”等价的命题为“如果当 nk1 时命题不成立，则当 nk(kN)时，命题也不成立” 故知当 n5 时，该命题不成立，可推得当 n4 时该命题不成立答案：C4用数学归纳法证明不等式 1 (nN)成立，其初始值至少应121412n112764取( )A7 B8C9 D10解析：左边1 2，121412n1112n11212n12017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案7代入验证可知 n 的最小值是 8.答案：B二、填空题5设 f(n)1 (nN)，则 f(n1)f(n)等于_121313n1解析：因为 f(n)1 ，所以 f(n1)1 121313n1121313n113n.所以 f(n1)f(n).13n113n213n13n113n2答案：13n13n113n26设平面内有 n 条直线(n2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数，则 f(4)_；当 n4 时，f(n)_(用 n 表示)解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数所以 f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得 f(n)f(2)234(n1)
