《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第二章章末小结知识整合与阶段检测》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第二章章末小结知识整合与阶段检测（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案1知识整合与阶段检测对应学生用书 P36对应学生用书 P36利用柯西不等式证明不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：.这里某一个 bi为零时，规定相a1b1a2b2anbn应的 ai为零(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组(3)可以利用向量中的|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义例 1 若 n 是不小于 2 的正整数，求证：1 .4712131412n112n22证明 1 12131412n112n2(1121312n)(121412n)，1n11n212n所以求证式等价于.471n11n212n22
2、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案2由柯西不等式，有(n1)(n2)2nn2，(1n11n212n)于是 ，1n11n212nn2n1n22n2n3n1231n231247又由柯西不等式，有1n11n212n .1212121n121n2212n2n(1n12n)22例 2 设 a，b，cR，且满足 abc1，试证明： .1a3bc1b3ac1c3ab32证明 abc1，则所求证的不等式变为 .b2c2abaca2c2babca2b2acbc32又(abbcca)22(abacbc acbcbcabac abacacbabc babc)(acbc)(abac)
3、(babc)，(a2b2acbcb2c2abaca2c2babc) (acbcab)a2b2acbcb2c2abaca2c2babc123 ，123a2b2c232当且仅当 abc1 时等号成立原不等式得证.利用柯西不等式求最值利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足例 3 若 5x16x27x34x41，则 3x 2x 5x x 的最小值是( )2 12 22 32 4A B7821515782C3 D2532017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5
4、同步教学案3解析 (3x 2x 5x x )(2531849516)2 12 22 32 42(533x13 2 2x2755x34 x4)(5x16x27x34x4)21，3x 2x 5x x .2 12 22 32 415782答案 B例 4 等腰直角三角形 AOB 的直角边长为 1.如图，在此三角形中任取点P，过 P 分别引三边的平行线，与各边围成以 P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时 P 的位置解 分别取 OA，OB 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系则 AB 的方程为 xy1，记 P 点坐标为 P(xP，yP)
5、，则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和 S 为S x y (1xPyP)2，12 2 P12 2 P122Sx y (1xPyP)2.2 P2 P由柯西不等式，得x y (1xPyP)2(121212)2 P2 PxPyP(1xPyP)2，即 2S36S1，所以 S .16当且仅当时，等号成立，xP1yP11xPyP1即 xPyP 时，面积和 S 最小，且最小值为 .1316从而 P 点坐标为时，这三个三角形的面积和取最小值 .(13，13)16例 5 已知实数 x、y、z 满足 x24y29z2a(a0)，且 xyz 的最大值是 7，求 a的值2017-2018 学年高中数学人教 B 版
6、选修 4-5 同步教学案4解 由柯西不等式：x2(2y)2(3z)212(12)2(13)22.(x12 2y13 3z)因为 x24y29z2a(a0)，所以a(xyz)2，即xyz.49367 a67 a6因为 xyz 的最大值是 7，所以7，得 a36，7 a6当 x，y ，z 时，xyz 取最大值，3679747所以 a36.排序不等式的应用(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在(2)注意等号成立的条件例 6 在ABC 中，试证： .3aAbBcCabc2证明 不妨设 abc，于是 ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbB
7、cC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得 3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)得 ，aAbBcCabc3又由 0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案5得 .aAbBcCabc2由、得原不等式成立.利用平均值不等式求最值1求函数的最值在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数(2)“和”或“积”为定值(3)等号一定能取到，这三个条件缺一
8、不可2解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解例 7 已知 0x ，求函数 yx(13x)的最大值13解 yx(13x) 3x(13x)，130x ，1313x0，x0.yx(13x) 3x(13x) 2.13133x13x2112当且仅当 3x13x 即 x ，y 有最大值.16112例 8 若 ab0，则代数式 a2的最小值为( )1babA2 B3C4 D5解析 依题意得 ab
9、0，所以代数式 a2a2a221bab1bab224a24，当且仅当Error!即 a，b时取等号，因此 a2的最小值是 4，选a24a22221babC.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案6答案 C例 9 某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入 (x2600)万元作为技改费用，投入1650 万元
10、作为固定宣传费用，投入 x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售15量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解 (1)设每件定价为 t 元，依题意，有t258，(8t251 0.2)整理得 t265t1 0000，解得 25t40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元(2)依题意，x25 时，不等式 ax25850 (x2600) x 有解，1615等价于 x25 时，a x 有解150x1615 x210(当且仅当 x30 时，等号成立)，a10.2.150x16150x16x当该商品明年的销售量 a 至
11、少达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元对应学生用书P38一、选择题1若 为锐角，则的最小值为( )(11sin )(11cos )A23 B3232C2 D3解析：22(1)232.(11sin )(11cos )(11sin cos )(12sin 2)22答案：B2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案72已知 xy1，那么 2x23y2的最小值是( )A B5665C D25363625解析：2x23y2(2x23y2) 2 (xy)2 .(1213)6565(2x22 3y33)6565答案
12、：B3设 x、y、z，满足 x22y23z23，则 x2y3z 的最大值是( )A3 B42C. D632 2解析：构造两组数：x，y，z 和 1， ， ，2323由柯西不等式得x2(y)2(z)212()2()2(x2y3z)2，2323(x2y3z)218，x2y3z3，当且仅当 xyz时取等号222答案：A4某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 3 件、5 件及 2 件，现在选择商店中单价为 3 元、2 元和 1 元的礼品，则至少要花( )A17 元 B19 元C21 元 D25 元解析：由排序原理可知：花钱最少为：15233217(元)答案：A二、填空题5n 个正数与这 n 个正数
13、的倒数的乘积的和的最小值为_解析：设 00，y0，且 4x3y12，则 xy 的最大值是( )A1 B2C3 D4解析：由 4x3y2，6，xy3，故选 C.12xy12xy答案：C3函数 ylog2(x1)的最小值为( )(x1x15)A3 B3C4 D4解析：x1x10，ylog2(x1x15)log2log2(26)log283.(x11x16)答案：B4设 x1，x2，x3取不同的正整数，则 m的最小值是( )x11x24x39A1 B2C D1164936解析：设 a1，a2，a3是 x1，x2，x3的一个排列且满足a1a2a3.a11，a22，a33，又1，122132x11 当且仅当 x11，x22，x23 时取等号x24x391213116答案：C5已知(x1)2(y2)24.则 3x4y 的最大值为( )A1 B10C11 D21解析：(x1)2(y2)2(3242)3(x1)4(y2)2，即(3x4y11)2100.3x4y1110,3x4y21.当且仅当时取等号x13y24答案：D2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案116已知不等式(xy)a 对任意正实数 x，y 恒成立，则实数 a 的最大值为( )(1x1y)A2 B4C D16
