《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.5.2简单线性规划学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.5.2简单线性规划学案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案13.5.23.5.2 简单线性规划简单线性规划1体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用，会求解简单的线性规划问题 2经历在线性约束条件下求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程，提高 用线性规划解决实际问题的能力线性规划中的基本概念名称定义目标函数要求_的函数，叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的_线性目 标函数如果目标函数是_，则称为线性目标函数线性约 束条件如果约束条件是_，则称为线性 约束条件线性规 划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的_问题， 称为线性规划问题最优解使目标函数达到_的点的_，称为问题
2、 的最优解可行解满足线性约束条件的_，叫做可行解可行域由所有_组成的集合叫做可行域简单线性规划应用问题的求解步骤：(1)设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函 数(2)作：作出可行域(3)移：作一组平行直线l，平移l，找最优解(4)解：联立方 程组求最优解，并代入目标函数，求出最值(5)答：写出答案总之：求解线性规划问题 的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值 【做一做 1】如果实数x，y满足条件Error!那么 2xy的最大值为( ) A2 B1 C2 D3 【做一做 2】配制 A，B 两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位： 千克)：药剂 A，B 至少各配一剂，
3、且药剂 A，B 每剂售价分别为 100 元、200 元现有原料甲 20 千克，原料乙 25 千克，那么可获得的最大销售额为_百元2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2一、图解法求最值的实质剖析：设目标函数为zAxByC(AB0)，由zAxByC得yx.这样，A BzC B二元一次函数就可以视为斜率为 ，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行线于A BzC B是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截 距的最大值和最小值的问题当B0 时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大； 当B0 时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小(1)
4、如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最 优解一般就是多边形的某个顶点 (2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误 二、常见的线性规划问题类型 剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完 成该项任务 (2)线性规划问题的常见类型有： 物资调运问题 例如已知 A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经 B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站 的运输能力是有限的，且已知 A1
5、，A2两煤矿运往 B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编 制调运方案，能使总运费最少？ 产品安排问题 例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需 A，B，C 三 种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所 获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？下料问题 例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？题型一 求线性目标函数的最值问题 【例 1】设z2y2x4，式子中x，y满足条件Error!试求z的最大值和最小值 分析：作出线性约束条件下的可行域，然后作出与直线 2y2x0 平行
6、的直线，通过 平移直线，在可行域内求出最大值和最小值 反思：求目标函数zaxbyc(ab0，c0)的最值，与求目标函数 zaxby(ab0)的最值的方法是一样的，因为在zaxbyc中，c为非零常数，故仍 可设taxby，只要求出taxby的最值，则zaxbyc的最值即可求得，在本题 中，通过平移直线，得到y轴上的截距的最值，也就得到了t的最值 题型二 求非线性目标函数的最值问题 【例 2】已知Error!求： (1)zx2y210y25 的最小值；2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3(2)z的取值范围2y1 x1分析：(1)中zx2y210y25(x0)2(y5)2的
7、几何意义为平面区域内的点(x，y)到(0,5)的距离的平方；(2)z2的几何意义为平面区域内的点2y1 x1y12 x1(x，y)与(1， )连线斜率的 2 倍关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用1 2数形结合知识求解 反思：(1)对形如z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y) 与点(a，b)间的距离的平方的最值问题(2)对形如z(ac0)型的目标函数，可先变形为z 的形式，将ayb cxda cybaxdc问题转化为求可行域内的点(x，y)与( ， )连线斜率的 倍的范围、最值等，注意斜率d cb aa c不存在的情况 题型三 简单的线性规划问题 【例 3】
8、某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位，含淀 粉 4 个单位，售价 0.5 元，米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0.4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问 应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？ 分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之先 作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优 解，再进一步求最值 题型四 最优整数解的问题 【例 4】电视台为某个广告公司特约播放两套片集其中片集甲每集播放时间为 21
9、分 钟，其中广告时间为 1 分钟，收视观众为 60 万；片集乙每集播放时间为 11 分钟，其中广 告时间为 1 分钟，收视观众为 20 万广告公司规定每周至少有 6 分钟广告，而电视台每周 只能为该公司提供不多于 86 分钟的节目时间(包含广告时间)电视台每周应播放两套片集 各多少集，才能获得最高的收视率？ 分析：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，它们每集的广告时间都是 1 分钟， 则xy不少于 6 分钟我们还应注意到片集一共的播放时间里要包括广告时间，不超过 86 分钟 反思：如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解， 则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行
10、域内寻求与之最近的整数解，可通过精确 作图，打好网格的办法求得 题型 五易错辨析 【例 5】已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足 1f(1)2，2f(1)4，则 f(2)的范围是( ) A3,12 B(3,12) C(5,10) D5,10 错解：由于f(2)4a2b，要求f(2)的范围，可先求a与b的范围由f(1)2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4ab，f(1)ab，得Error!两式相加得 a3，又2ba1.3 2式与式相加得 0b .3 264a12，32b0.34a2b12. 即 3f(2)12.故选 A. 错因分析：这种解法看似正确，实则使f(2)的
11、范围扩大了事实上，这里f(2)最小值不可能取到 3，最大值也不可能是 12.由上述解题过程可知，当a 且b 时才能使3 23 24a2b3，而此时ab0，不满足式同理可验证 4a2b也不能等于 12.出现上述错 误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的， 用它来作变形，是非同解变形以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所 求范围扩大了1 目标函数z3xy，将其看成直线方程时，z的意义是( ) A该直线的截距 B该直线的纵截距 C该直线纵截距的相反数 D该直线的横截距 2 设变量x，y满足约束条件Error!则目标函数z2xy的最小值为( ) A2
12、 B3 C4 D9 3 设E为平面上以三点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边 界)，则z4x3y，(x，y)E的最大值与最小值分别为( ) A14，18 B14，18 C18,14 D18，14 4 已知变量x，y满足Error!则z3xy的最大值是_ 5 已知变量x，y满足约束条件 1xy4，2xy2.若目标函数zaxy(其 中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_ 答案：答案： 基础知识基础知识梳理梳理 最大值或最小值 不等式组 关于变量的一次函数 关于变量的一次不等式(或等式) 最大值或最小值 最大值或最小值 坐标 解 可行解 【做一做 1
13、】B 作出可行域，可知当直线z2xy过点(0，1)时，z最大【做一做 2】8 设药剂 A，B 分别配x剂、y剂，则Error! 作出可行域如图阴影部分所示2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5令z0 得直线x2y0， 平移此直线过点M时z最大， 由Error!得M(，)，调整得最优解(2,3)，45 1750 17 zmax2238(百元) 典型例题典型例题领悟领悟 【例 1】解：解：作出二元一次不等式组Error!所表示的平面区域(如图阴影部分所示)，即 可行域将z2y2x4 变形为yxz2，这是斜率为 1，随z变化的一组平行直线(如图1 2 所示)(z2)是直线在y
14、轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最大当然，直线要与可1 2 行域相交，即在满足约束条件时目标函数z2y2x4 取得最大值；当直线截距最小时， z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z2y2x4 取得最小值 由图可知，当直线z2y2x4 经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大 解方程组Error!得A点的坐标为(0,2) 所以zmax2y2x4222048. 当直线z2y2x4 经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小 解方程组Error!得B点的坐标为(1,1) 所以zmin2y2x4212144. 【例 2】解：解：作出可行域，如图阴影部分所示可求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9) (1)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案6MNAC于N，则|MN|.|052|1(1)2323 22所以|MN|2 ，9 2所以zx2y210y25 的最小值为 .9 2(2)z2表示可行域内点(x，y)与定点Q(1， )连线斜率的 2y(f(1,2) x(1)1 2 倍kQA ，kQB ，7 43 8故z的取值范围是 ， 3 47 2 【例 3】解：解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米食y(百克)
