《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：2.2.2等差数列的前n项和学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：2.2.2等差数列的前n项和学案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案12.2.22.2.2 等差数列的前等差数列的前n n项和项和1理解等差数列前n项和公式的推导过程 2掌握等差数列前n项和公式，并能利用前n项和公式解决有关等差数列的实际问 题 3熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个量求另外 的两个量1等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn_Sn_(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数 列的前n项和公式 (2)等差数列的前n项和公式有两个，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其 中
2、三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组(3)当已知首项a1和末项an及项数n时，用公式Sn来求和，用此公式na1an 2时常结合等差数列的性质(4)当已知首项a1和公差d及项数n时，用公式Snna1d来求和nn1 2【做一做 11】已知数列an为等差数列，a135，d2，Sn0，则n等于( ) A33 B34 C35 D36 【做一做 12】等差数列an的前n项和为Sn，若a3a1710，则S19的值为( ) A55 B95 C100 D不能确定 2等差数列前n项和公式与函数的关系由于Snna1dn2(a1 )n，nn1 2d 2d 2当d0 时，此公式可看做二次项系数为 ，一次项系数为
3、(a1 )，常数项为 0 的d 2d 2_，其图象为抛物线yx2(a1 )x上的点集，坐标为(n，Sn)(nN N)d 2d 2因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d0 时，Sn有最_值；当d0 时， Sn有最_值数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题 的一个重要应用2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2【做一做 21】已知等差数列an的通项公式an192n，则an的前_项和 最大 【做一做 22】已知数列an的前n项和Snn212n，则当n等于_时，Sn最 小一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题 剖析：(1)当等差数列a
4、n有偶数项时，设项数为 2n， 设S偶a2a4a6a2n， S奇a1a3a5a2n1， ，得S偶S奇nd. ，得S偶S奇S2n.，得. S偶 S奇n 2a2a2n n 2a1a2n12an1 2anan1 an(2)当等差数列an有奇数项时，设项数为 2n1， 设S奇a1a3a5a2n1， S偶a2a4a6a2n， ，得S奇S偶a1ndan1. ，得S偶S奇S2n1(2n1)an1.，得. S奇 S偶n1 2a1a2n1n 2a2a2nn1an1 nan1n1 n综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：(1)项数为 2n时，S偶S奇nd，S偶S奇S2n，.S偶 S奇an1 an(2)项数为
5、 2n1 时，S奇S偶a1ndan1，S偶S奇S2n1(2n1)an1，.S奇 S偶n1an1 nan1n1 n熟练运用这些性质，可以提高解题速度除了上述性质外，与前n项和有关的性质还有： 等差数列的依次连续每k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数 列若Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列等价于是等差数列Sn n若an，bn都为等差数列，Sn，Sn为它们的前n项和，则.am bmS2m1 S2m1二、教材中的“？” 如果仅利用通项公式，能求出使得Sn最小的序号n的值吗？ 剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n的值因为该数列的通项公式为2017-2018 学
6、年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3an4n32，其各项为28，24，4,0,4，可以看出，所有负数或非正数的项 相加其和最小时，n的值为 7 或 8. 三、教材中的“思考与讨论” 1如果已知数列an的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了， 那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？ 剖析：确定了，由公式anError!来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n1 的情 况进行验证，能写成统一的形式就将a1合进来，否则保留分段函数形式 2如果一个数列的前n项和的公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，那么这个数 列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n项和公式可以变形为Sn
7、n2(a1 )n.当d0 时，是关于n的d 2d 2二次函数，如果一个数列的前n项和公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，那么这个 数列的通项公式是anError! 只有当c0 时，a1abc才满足an2anab.因此，当数列的前n项和公式为 Snan2bn时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d2a.题型一 等差数列的前n项和公式的直接应用 【例 1】在等差数列an中， (1)已知a1030，a2050，Sn242，求n； (2)已知S824，S1284，求a1和d； (3)已知a620，S510，求a8和S8； (4)已知a163，求S31. 分析：在等差数列的前n项和公
8、式中有五个基本量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意 三个量，就可以求出其他两个量 反思：在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问 题，均可化成有关a1，d的方程或方程组求解解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式； (2)合理利用等差数列的有关性质 题型二 Sn与an的关系问题 【例 2】已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且 6Sn(an1)(an2)， nN N，求an的通项公式 分析：由a1S1，求a1. 由an1Sn1Sn确定an1与an的关系，再求通项an. 反思：利用anError!求an时，切记验证n1 时的情形是否符合n2 时an的
9、表达 式 题型三 等差数列前n项和性质的应用 【例 3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求这个数列的 中间项及项数 分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、 偶数项的和与特殊项及项数的关系反思：在等差数列an中，(1)若项数为 2n1(nN N)，则，其中S奇S奇 S偶n1 n(n1)an1，S偶nan1；(2)若数列项数为 2n(nN N)，则S偶S奇nd. 题型四 等差数列前n项和的最值问题2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4【例 4】在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值 分析：本题
10、可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an0，an10 或利用等差数 列的性质求出大于或等于零的项 反思：本例四种解法从四个侧面求解前n项和最值问题，方法迥异，殊途同归 解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于Snn2(a1 )n是关于n的二次式，因此可用二次函数的最d 2d 2值来确定Sn的最值，但要注意这里的nN N. (2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn达到最大(或最小) (3)通项法：由于SnSn1an，所以当an0 时，SnSn1；当an0 时，SnSn1， 因此当a10 且d0 时，使an0 的最大的n的值，使Sn最大；当a1
11、0，d0 时，满足 an0 的最大的n的值，使Sn最小 题型 五易错辨析 【例 5】若数列an的前n项和为Sn3n22n1，求数列an的通项公式，并判断它 是否为等差数列 错解：anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5， an1an6(n1)5(6n5)6(常数) 数列an是等差数列 错因分析：本题忽略了anSnSn1成立的条件“n2” 【例 6】已知两个等差数列an与bn，它们的前n项和的比，求.Sn Snn3 n1a10 b10错解：设Snk(n3)，Snk(n1)，则1.a10 b10S10S9 S10S9k103k93 k101k91错因分析：本题由于错误地设出了S
12、nk(n3)，Snk(n1)，从而导致结论错 误1 已知在等差数列an中，a27，a415，则前 10 项的和S10等于( ) A100 B210 C380 D4002 已知数列an的前n项和Sn，则a3等于( )n1 n2A B C D1 201 241 281 323 等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为( ) A130 B170 C210 D260 4 设数列an是等差数列，且a26，a86，Sn是数列an的前n项和，则( ) AS4S5 BS4S5 CS6S5 DS6S5 5 设数列an的前n项和为Sn223n，则通项公式an_. 6 设公差不为
13、零的等差数列an，Sn是数列an的前n项和，且S9S2，S44S2，则2 3数列an的通项公式为_ 答案：答案： 基础知识基础知识梳理梳理1 na1dn(a1an) 2n(n1) 22017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5【做一做 11】D 由公式Snna1d，得到 35n(2)0，即n(n1) 2n(n1) 2 n236n0，解得n36 或n0(舍去) 【做一做 12】B 2二次函数 小 大 【做一做 21】9 【做一做 22】6 典型例题典型例题领悟领悟 【例 1】解：解：(1)由Error!得Error!Sn242，12n2242.n(n1) 2 解得n11 或n2
14、2(舍去) n11. (2)由Error!得Error! a14，d2. (3)由Error!得Error!a8a62d32，S888.8(a1a8) 2(4)S3131a163193.a1a31 2【例 2】解：解：由a1S1 (a11)(a12)，1 6 解得a11 或a12，由已知a1S11，知a12. 又由an1Sn1Sn (an11)(an12) (an1)(an2)，1 61 6 得an1an30 或an1an， 因an0，故an1an不成立，舍去 因此an1an3，从而an是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故an的通项为 an3n1. 【例 3】解：解：设等差数列an共有(2n1)项，则奇数项有(n1)项，偶数项有n项， 中间项是第(n1)项，即an1. ，得S奇
