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1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案11.21.2 应用举例应用举例课堂探究课堂探究实际问题中度量实际问题中度量A A，B B两点的长度两点的长度( (高度高度) )的方法的方法剖析：剖析：(1)求距离问题如图，当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离两点间不可到达又不可视两点间可视但不可达两点都不可达当A，B两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解，则ABa2b22abcos C当A，B两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解A(BC)，根据正弦定理，得，AB sin CBC sin ABC sin(BC
2、)BC sin(BC)a sin(BC)则ABasin C sin(BC)当A，B两点都不可达时，先在ADC和BDC中分别求出AC，BD，再在ABC或ABD中运用余弦定理求解先求：ADsinACD；a sin(ADCACD)再求：BDsinBCD；a sin(BDCBCD)最后：ABAD2BD22ADBDcosADB名师点拨：名师点拨：将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角形提供必要的条件(2)求高度问题如图，当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度，有如下情况底部可达底部不可达2
3、017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2当BC底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则ABatan C当BD不可达时，在 RtABD中，BD，AB tanADB在 RtABC中，BC，AB tanACBaCDBCBDAB tanACBAB tanADBABa 1 tanACB1 tanADB在BCD中，BCsin Da sin(BCDD)ABBC ，BACACB 2在ABC中，ABsinACBBC sinBACsinACBBC cosACBABsinACBa sin(BCDD) sin DcosACBasin DtanACB sin(BCDD)名师点拨：名师点拨：在测量
4、某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解题型一题型一 测量距离问题测量距离问题【例例 1】1】如图，隔河看两目标 A，B，但不能到达，在岸边选取相距3km 的 C，D 两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45(A，B，C，D 在同一平面内)，求两目标 A，B 之间的距离2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3分析：分析：要求出A，B之间的距离，可在ABC(或ADB)中去找关系，但不管在哪个三角形
5、中，AC，BC这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解斜三角形即可解：解：在ACD中，ADC30，ACD7545120，CAD30ACCD km3在BDC中，CBD180(4575)60由正弦定理，得BC(km)3sin 75sin 606 22在ACB中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosBCA()222cos 753(6 22)36 225AB km5两目标A，B之间的距离为 km5反思：反思：测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两个不可到
6、达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题题型二题型二 测量高度问题测量高度问题【例例 2】2】 如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB20 m，在A处测得P点的仰角OAP30，在B处测得P点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度h(精确到 01 m)分析：分析：先在 RtPAO和 RtPBO中求出AO，BO，再在AOB中由余弦定理求出h解：解：在 RtPAO中，AOhh tan 3032017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4在 RtPBO中，BOhh tan 45在ABO中，由余弦定理，得
7、 202(h)2h22hhcos 60，解得h33133(m)204 3反思：反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再者还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序题型三题型三 测量角度问题测量角度问题【例例 3】3】 如图，甲船在 A 处，乙船在甲船的南偏东 45方向，距 A 处 9 海里的 B 处，并以 20 海里/时的速度沿南偏西 15方向行驶，若甲船以 28 海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船？(精确到 1 度)分析：分析：假设用t小时在C处追上乙船，则在ABC中，AC，BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解
8、此三角形即可解：解：假设用t小时甲船在C处追上乙船在ABC中，AC28t海里，BC20t海里，ABC1804515120由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcosABC，即(28t)281(20t)22920t，(1 2)整理，得 128t260t270，即(4t3)(32t9)0t 或t(舍去)3 49 32AC28 21(海里)，BC20 15(海里)3 43 4由正弦定理，得sinBACBCsinABC AC15 32 215 3142017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5又ABC120，BAC为锐角，BAC3845387甲船应沿南偏东 7方向用 小时可最快追
9、上乙船3 4反思：反思：航海问题常利用解三角形的知识解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正、余弦定理求解题型四题型四 面积问题面积问题【例例 4】4】 在半径为R的扇形OAB中，圆心角AOB60，在扇形内有一个内接矩形，求内接矩形的最大面积分析：分析：扇形内的内接矩形有且仅有两种类型：一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合；另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积，再取两者中较大的，就是符合条件的最大面积解：解：如图(1)所示，设PQx，MPy，则矩形的面积Sxy连接ON，令AON，则yRsin 在OMN中，利用正弦定
10、理，得，R sin 120x sin(60)x2Rsin(60)3Sxy2R2sin sin(60)3R2cos 2(30)cos 603当30时，SmaxR236如图(2)所示，设PNx，MNy，则矩形的面积为Sxy，连接ON，令AON在OPN中，利用正弦定理，得，ON sinOPNPN sin OP sinONPxsin 2Rsin ，y2Rsin(30)R sin 150Sxy4R2sin sin(30)2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案62R2cos 2(15)cos 30当15时，Smax(2)R232，363所求内接矩形的最大面积为R236反思：反思：关于
11、求面积最值问题，关键是将面积函数表达出来，根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出，再转化为求三角函数最值问题，这是这一类问题常用的解题思路题型五题型五 易错辨析易错辨析【例例 5】5】 某观测站C在城A的南偏西 20的方向上，由城A出发的一条公路，走向是南偏东 40，在C处，测得公路上距C处 31 km 的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20 km 后到达D处，此时C，D间的距离为 21 km，这人还要走多远才能到达城A?错解：错解：如图所示，CAD60在BCD中，由余弦定理，得 cos B，BC2BD2CD2 2BCBD312202212 2 31 2023 31所以 sin B
12、1cos2B12 331在ABC中，AC24BCsin B sinCAB在ACD中，由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcosCAD，即 212242AD224AD，所以AD15 或AD9，所以这人还要走 15 km 或 9 km 才能到达城A错因分析：错因分析：没有及时检验，题目中ACD为锐角三角形，故应舍去AD9 的情况正解：正解：设ACD，CDB，在CBD中，由余弦定理，得cos ，所以 sin ，从而 sin BD2CD2CB2 2BDCD202212312 2 20 211 74 37sin(60)sin cos 60cos sin 60 4 371 2321 75 3142017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案7在ACD中，由正弦定理，得，则CD sin 60AD sin AD15(km)21 sin sin 60所以这人还要走 15 km 才能到达城A
