《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：2.3.1等比数列课堂探究学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：2.3.1等比数列课堂探究学案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案12.3.12.3.1 等比数列等比数列课堂探究课堂探究一、解读等比数列的主要性质一、解读等比数列的主要性质剖析：剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质等比数列有以下性质：(1)两个等比数列的积仍为等比数列(2)在等比数列an中，若mnpq，则amanapaq(3)数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积(4)在等比数列an中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk1(5
2、)当数列an是各项都为正数的等比数列时，数列lg an是公差为 lg q的等差数列(6)当m，n，p(m，n，pN N)成等差数列时，am，an，ap成等比数列(7)等比数列an中，若公比为q，则数列an仍是公比为q的等比数列；若bn是公比为q的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列；数列是公比为1 an的等比数列；|an|是公比为|q|的等比数列1 q二、求数列通项公式的方法二、求数列通项公式的方法剖析：剖析：1 1如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得a1，d(或q)，直接套用公式即可2 2若已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an11,2
3、,nnSSSn用此公式时我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二” ，即分段式；另一种是“合二为一” ，即a1和an(n2)合为一个表达式3 3对于形如an1anf(n)型或形如an1f(n)an型的数列，其中f(n)是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n取 1 到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式4 4有些数列本身并不是等差数列或等比数列，但可以经过适当变形，构造出一个等差数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法例如：在数列an中，a11，a22，an+2an+1an，我们在上式的两边减去an+1，得an+2an+1 (an+1
4、an)，2 31 31 32017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2即可构造一个等比数列来解决问题当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项三、教材中的三、教材中的“？”1 1为什么q0？等比数列中的项有可能等于 0 吗？剖析：剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为 0，除数也不可能为 0，故q0，在等比数列中，各项都不会为 02 2等差数列的通项公式是怎样推导出来的？怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式？剖析：剖析：等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先
5、采用归纳的方法猜想出通项公式，然后利用迭乘的方法证明得ana1qn13 3你能通过公比q的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？剖析：剖析：当a10，q1 或a10，0q1 时，数列an为递增数列；当a10，0q1 或a10，q1 时，数列an为递减数列；当q1 时，数列an为常数列；当q0 时，数列an为摆动数列四、教材中的四、教材中的“思考与讨论思考与讨论”对于例 3 中的数列，你是否发现a5，a10，a15，a20恰好成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？剖析：剖析：在已知数列中，每隔k项取一项，保持原来顺序依次排列，所得数列还是一个等比数列题型一题型一 等
6、比数列定义的应用等比数列定义的应用【例例 1】1】 已知数列的通项公式为an32n，试问：这个数列是否为等比数列？分析：分析：可用定义法、等比中项法证明解：解：解法一：2(常数) ，an1 an3 2n1 3 2nan是等比数列解法二：an132n1，an232n2，anan232n32n2922n2a，2n1an是等比数列反思：反思：已知某数列的通项公式，判定其是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明常用的判定等比数列的方法有：(1)定义法：q(常数)；(2)等比中项法：aan1 ananan2(an0)2n12017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3题型二题型二 等比数
7、列的通项公式的应用等比数列的通项公式的应用【例例 2】2】 在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n分析：分析：先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量解：解：(1)解法一：因为Error!所以Error!Error!由，得q34，从而q，而a1q32， 34于是a1 ，所以ana1qn125 32n 2 q31 2解法二：因为a7a4q3，所以q34所以ana4qn42()n425 32n 34(2)解法一：因为Error!由，得q ，从而a132 1 2又an1，所以 32n11，即 26n20，(1 2)所
8、以n6解法二：因为a3a6q(a2a5) ，所以q 1 2由a1qa1q418，得a132由ana1qn11，得n6反思：反思：a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，解法一是常规解法，先求a1，q，再求an，解法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的解法【互动探究互动探究】 将本例 2(2)中的条件“an1”去掉，其他条件不变，试求an的通项公式解：解：因为Error!由得q ，从而a132 1 2所以ana1qn132n1n6(1 2)(1 2)题型三题型三 等比数列性质的应用等比数列性质的应用【例例 3】3】 已知数列an为等比数列，若a
9、1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4分析：分析：本题主要考查等比数列的性质“若pq2n，则apaqa(p，q，nN N)”2n的应用解解：解法一：a1a32 2a，a1a2a33 2a8a22从而Error!Error!或Error!Error!或Error!an2n1或an23n解法二：由a1a2a38，得a22将a2a1q，a3a1q2代入a1a2a37，a1a2a38，可得Error!解得Error!或Error!故可得an2n1或an23n解法三：数列an为等比数列，2 2aa1a3代入a1a2a38，得3 2
10、a8，a22不妨设等比数列的前三项为 ，2，2q，2 q则有 22q7，2 q整理得 2q25q20，解得q2 或q 1 2Error!或Error!an2n1或an23n反思：反思：若三个数成等比数列，则可设为 ，a，aq，当然也可设为a，aq，aq2若四个a q数成等比数列，则可设为a，aq，aq2，aq3，但不能设为，aq，aq3，因为这个数列的a q3a q公比为q2，漏掉了公比为负值的情况题型四题型四 构造等比数列求通项公式构造等比数列求通项公式【例例 4】4】 (1)在数列an中，a11，an12an1，求通项公式an(2)在数列an中，a12，an1，求通项公式an2an an1
11、(3)在数列an中，a13，an1a，求通项公式an2n分析：分析：对所给递推关系进行适当的变形，构造辅助数列使问题转化为熟悉的问题构2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5造等比数列的方法一般有：配常数、取倒数、取对数等解：解：(1)由an12an1，可得an112(an1) ，2an11 an1an1是首项为a112，公比为 2 的等比数列an1(a11)2n12n，即an2n1(2)由an1，可得 ，2an an11 an11 21 21 an11 an11 2(1 an1)是首项为1 ，公比为 的等比数列1 n1-1 an11 a11 21 21 an1 2(1
12、2)nan11(12)n(3)由a13，an1a，可得an0，lg an12lg an2n2lg an1 lg anlg an是首项为 lg a1lg 3，公比为 2 的等比数列lg anlg a12n1lg 32n1an32n1反思：反思：有些数列本身并不是等差、等比数列，但是通过适当的变形，可以构造出等差、等比数列因此解决这类问题应该熟悉能构造成等差、等比数列的形式，以及对应方法题型五题型五 易错辨析易错辨析【例例 5】5】 在等比数列an中，若a3a4a6a781，则a1a9的值为( )A3 B9 C3 D9错解：错解：an为等比数列，a3a7a4a6a1a9，(a1a9)281a1a9
13、9故选 D错因分析：错因分析：忽视了在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件正解正解：a3a7a4a6a1a9，(a1a9)281a1a99在等比数列an中，奇数项(或偶数项)的符号相同，a1，a9同号，a1a99，故选 B答案：答案：B2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案6【例例 6】6】 已知一个等比数列的前四项之积为，第 2 项与第 3 项的和为，求这个等比数1 162列的公比错解：错解：依题意，设这四个数为，aq，aq3，a q3a q则Error!Error!由得a ，1 2代入并整理，得q22q10，2解得q1 或q1，22原等比数列的公比为q232或q23222错因分析：错因分析：从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为，aq，aq2，公比为q2，就等于规定了这个等比数列各项要么同为正，要么a q3a q同为负，而题设中无此规定正解：正解：依题意，设这四个数为a，aq，aq2，aq3，则Error!解得q32或q5226
