《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案11.1.21.1.2 余弦定理余弦定理1理解用向量的工具推导余弦定理的过程，并能初步运用余弦定理解斜三角形 2掌握三角形的面积公式 3能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算 有关的三角形问题1余弦定理公式表达语言叙述推论a2_cos A_b2_cos B_c2_三角形任何一边的 平方等于_cos C_(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具； (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例； (3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以
2、知三求一； (4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等 的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的 【做一做 11】在ABC中，AB1，BC2，B60，则AC的长为_ 【做一做 12】在ABC中，a2c2b2ab，则C_. 2余弦定理的应用 (1)利用余弦定理判断三角形的形状 由余弦定理，当边c为最大边时， 如果c2a2b2，则ABC为_三角形； 如果c2a2b2，则ABC为_三角形； 如果c2a2b2，则ABC为_三角形 (2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题 已知三边，_； 已知两边和它们的夹角，求_和其他_； 已知三角形的两边和其中一边的对角
3、解斜三角形时，也可用余弦定理，如已知 a，b，A，可先用余弦定理_，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角， 如果最大角小于 60或最小角大于 60，可知三角形无解 【做一做 21】在ABC中，若 sin Asin Bsin C234，则该三角形的形状 为( ) A直角三角形 B等边三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 【做一做 22】在ABC中，已知c2acos B，则ABC的形状为_三角形 3三角形的面积公式2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2(1)Saha(ha表示a边上的高)；1 2(2)
4、Sabsin C _ _；1 21 21 2(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)；1 2(4)S(其中p (abc)ppapbpc1 2【做一做 31】在ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且 a1，B45，SABC2，则c_. 【做一做 32】已知三角形的周长为 12，内切圆的半径为 1，则SABC_.一、三角形中的四类基本问题 剖析：解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理 求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数 (2)已知三角形的两
5、角和任一边，解三角形 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三 角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边若所给边不是已知角的对边时， 先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边 (3)已知两边和它们的夹角，解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角， 最后用三角形内角和定理求第三个角 (4)已知三角形的三边，解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一 个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角 二、教材中的“？”在ABC中，令c c，b b，a a，你能通过计算
6、|a a|2aaaa证明余弦定理吗？ABACBC剖析：如图所示，|a a|2a aa aa a2()()BCBCACABACAB22222|cos A2b b2c c22bcbccos A，即ACACABABACACABABa2b2c22bccos A 同理可证b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决 (1)坐标法：2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3如图所示，以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B，C的坐标分别为A(0,0)，B(ccos A，
7、csin A)，C(b,0)，根据两点间的距离 公式，得 a|BC|，ccos Ab2csin A02a2c2cos2A2bccos Ab2c2sin2A， 即a2b2c22bccos A 同理可得b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C(2)(用正弦定理证明)因为a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C， 所以b2c22bccos A 4R2(sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A) 4R2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos (BC) 4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos Bcos C) 4R
8、2sin2B(1sin2C)sin2C(1sin2B)2sin Bsin Ccos Bcos C 4R2(sin2Bcos2C2sin Bsin Ccos Bcos Csin2Ccos2B) 4R2sin2(BC)4R2sin2Aa2. 同理可证b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C题型一 用余弦定理解三角形 【例 1】在ABC中： (1)a1，b1，C120，求c； (2)a3，b4，c，求最大角；37(3)abc12，求A，B，C3分析：(1)直接利用余弦定理即可； (2)在三角形中，大边对大角； (3)可设三边为x，x,2x.3反思：(1)本例为余弦定理的最基本应用，
9、要在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特 征 (2)对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出A，进而求出其余 两角另外也可由边长关系，判断出C为直角，再求角 题型二 判断三角形的形状 【例 2】在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且 sin A2sin Bcos C，试 确定ABC的形状 分析：利用余弦定理先求出A60，再根据三角变换公式求得BC 反思：(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、直角、钝 角、等腰、等边三角形等) (2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理， 要么统一为边的关系，要么统一为角的关系
10、再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论 (3)常见结论：设a，b，c分别是ABC的角A，B，C的对边， 若a2b2c2，则C90； 若a2b2c2，则C90； 若a2b2c2，则C90；若 sin 2Asin 2B，则AB或AB. 2题型三 三角形的面积公式的应用【例 3】在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且.求：cos B cos Cb 2ac(1)B的大小； (2)若b，ac4，求ABC的面积13分析：先由余弦定理求出B，再结合条件列方程求出ac，利用面积公式求出ABC
11、的 面积 反思：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦问题， 要注意方程思想在解题中的应用 题型四 正、余弦定理的综合应用 【例 4】(2011山东高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.cos A2cos C cos B2ca b(1)求的值；sin C sin A(2)若 cos B ，b2，求边a.1 4分析：(1)利用正弦定理及三角变换公式对已知等式进行化简即可； (2)利用余弦定理列出方程，并且用上(1)中的结论即可求出a. 反思：正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所求，正弦定理 尤其在边角转化方面功能显著余弦定理的
12、使用要注意选择好“第三边” ，这样才能列出有 效的方程，再者要熟练掌握三角变换公式，这在解三角形中经常用到 题型五 易错辨析 【例 5】在锐角ABC中，b1，c2，则a的取值范围是( ) A1a3 B1a5Ca D不确定35错解：由三角形的性质，知cba，得a1.又A为锐角，从而 cos A0，得b2c2a2 2bc5a2 2bc0a.5所以 1a.故选 B5错因分析：上述解法忽视了三角形三个内角的关系，即ABC180，cos A0 只能推出A为锐角，而不能推出ABC一定为锐角三角形，因为 ABC180，所以当ABC为锐角三角形时，不仅 cos A0，还必须满足 cos B0，cos C0.
13、【例 6】在ABC中，已知a2，b2，C15，求A22017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5错解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C4822284，26 243所以c.又由正弦定理，得 sin A .因为 0A180，所以62asin C c1 2A30或 150. 错因分析：没有注意到ba这一隐含条件，致使增解1 在ABC中，bcos Aacos B，则三角形的形状为( ) A直角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 2 在ABC中，已知三边a，b，c满足(abc)(abc)3ab，则C等于( ) A15 B30 C45 D60 3 在ABC中，a，
14、b，c分别为A，B，C的对边，如果bc2，A60，3ABC的面积为，那么a为( )32A B106C10 D6 4 在ABC中，AB3，BC，AC4，则 sin A_.135(2012北京昌平高三一模)在ABC中， cos 2Acos2 Acos A1 2(1)求角A的大小； (2)若a3，sin B2sin C，求SABC 答案：答案： 基础知识基础知识梳理梳理 1b2c22bccos A a2c22accos B a2b22abcos C 其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2c2a2 2bca2c2b2 2aca2b2c2 2ab 【做一做 11】 由余弦定理，得AC21222212cos 603.AC.33 【做一做 12】60 2(1)直角 锐角 钝角 (2)求三个角 第三边 两个角 a2b2c22bccos A 【做一做
