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1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案12.1.12.1.1 数列数列课堂探究课堂探究一、对数列通项公式的理解一、对数列通项公式的理解剖析：剖析：(1)数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集1，2，n为定义域的函数表达式(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1，2，3，去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式如的不足近似值，精确到 1，01，001，0001，0000 1，所构成的数列21，14，141，14
2、14，1414 2，就没有通项公式(4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，正如数列：1，1，1，1，1，1，它可以写成an(1)n，也可以写成anError!还可以写成an(1)n2(n1，2，3，)等，这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一二、函数思想在数列中的应用二、函数思想在数列中的应用剖析：剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集
3、合(2)数列的通项公式是项an与项数n的等量关系式从函数的思想看，就是函数值an与自变量n的等量关系式利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目就是用函数的思想求数列的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关
4、问题可达到事半功倍的效果三、教材中的三、教材中的“思考与讨论思考与讨论”2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2是否存在一个各项都小于 5 的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式(提示：先定义一个在(0，)上，且函数值都小于 5 的函数)剖析：剖析：存在这样的数列，如an ，an5 等均满足条件1 n2 n题型一题型一 数列的概念数列的概念【例例 1】1】 下列哪些表示数列？哪些不表示数列？(1)1，5，2，3，6，7；(2)方程x(x1)(x2)(x3)(x4)0 的解；(3)f(x)x2x2 的函数值f(1)，f(0)，f(1)，f(2)；(4)当x
5、1 时，x，x1，x2，x2，2x的值；(5)3，1，1，x，5，7，y，11分析：分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列解：解：(1)1，5，2，3，6，7表示的是一个数集，而不是数列；(2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列；(3)f(1)，f(0)，f(1)，f(2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x1 时，x，x1，x2，x2，2x都是一些数，而且具有顺序，故是数列；(5)当x，y表示数时为数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列反思：反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)
6、判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的题型二题型二 根据通项公式求项根据通项公式求项【例例 2】2】 根据下面数列的通项公式，写出它们的前 5 项(1)an；(2)an3n2nn 2n1分析：分析：已知数列的通项公式，依次用 1，2，3，代替公式中的n，便可以求出数列的各项解：解：(1)在通项公式an中，依次取n1，2，3，4，5，得到数列的前 5 项为n 2n1a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a51 2 111 32 2 212 53 2 313 74 2 414 95 2 51
7、5 11 (2)在通项公式an3n2n中，依次取n1，2，3，4，5，得到数列的前 5 项为a131215，a2322210，a3332317，a4342428，a532017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案352547反思：反思：数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值题型三题型三 由数列的前几项写通项公式由数列的前几项写通项公式【例例 3】3】 分别写出下列数列的一个通项公式：(1)1 ，3 ，5，7，9，；1 42 93 164 255 36(2)4， ，2
8、， ，；5 27 4(3)5，55，555，5 555，；(4)1，1， ， ，；5 77 159 31(5)，3，3，315213分析：分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可解：解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是 1，3，5，7，9，为奇数，分数的分子是 1，2，3，4，5，正好是序号，分母是 4，9，16，25，36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的通项公式为an(1)n(2n1)n (n1)2(2)将数列前 4 项改写成分数的形式： ， ， ，可得该数列的通项公
9、式4 15 26 37 4an(1)n1n3 n(3)由于 9，99，999，9 999，的通项公式是 10n1，所以将题中数列各项改写可得：5 9，55 99，555 999，5 555 9 999，可得该数列的通项公5 95 95 95 9式an (10n1)5 9(4)原数列可写成： ， ， ，得该数列的通项公式为an1 13 35 77 159 312n1 2n1(5)原数列可写成，得该数列的3 13 33 53 73 9通项公式为an3 (2n1)反思：反思：常见数列的通项公式如下：数列1，1，1，1，的通项公式是an(1)n；数列 1，2，3，4，的通项公式是ann；数列 1，3，
10、5，7，的通项公式是an2n1；2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4数列 2，4，6，8，的通项公式是an2n；数列 1，2，4，8，的通项公式是an2n1；数列 1，4，9，16，的通项公式是ann2；数列 ，的通项公式是an ；1 11 21 31 41 n数列 1，3，6，10 的通项公式是ann(n1) 2题型四题型四 判断数列的增减性判断数列的增减性【例例 4】4】 已知函数f(x)x 数列an满足f(an)2n，且an01 x(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的增减性分析：分析：先根据已知条件解方程求an，然后利用作差或作商法判断数列an的增减
11、性解：解：(1)f(x)x ，f(an)2n，1 xan2n，1 an即a2nan10，2n解得ann，n21an0，annn21(2)解法一(作差法)：an+1an(n1)(n)(n1)21n211(n1)21n2111，(n1)n(n1)21n21又n1，n，(n1)21n211(n1)n(n1)21n21an+1an0，即an+1an数列an是递减数列解法二(作商法)：an0，2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5an1 an(n1)21(n1)n21n1n21n(n1)21(n1)an+1an数列an是递减数列反思：反思：数列an增减性的判定方法：(1)作差比较
12、法若an+1an0 恒成立，则数列an是递增数列；若an+1an0 恒成立，则数列an是递减数列；若an+1an0 恒成立，则数列an是常数列(2)作商比较法1an1 an01an1 an1an1 anan0递增数列递减数列常数列an0递减数列递增数列常数列题型五题型五 数列与函数的联系数列与函数的联系【例例 5】5】 设函数f(x)log2xlogx4(0an(nN N)，2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案6即a1a2a3anan1，数列的最小项为第 1 项，a113反思：反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子
13、集1，2，3，n)上的函数，判断数列随n增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同题型六题型六 易错辨析易错辨析【例例 6】6】 已知在数列an中，ann2kn(nN N)，且an单调递增，则k的取值范围是( )A(，2 B(，3) C(，2) D(，3错解：错解：因为an是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，故若an递增，则必有1，故k2故选 Ak 2错因分析：错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集 N N(或它的有限子集1，2，3，n)的特殊函数，故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an+1与an的大小来判断：若an+1an，则数列为递增数列；若an+1an，则数列为递减数列正解：正解：an+1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k由于an单调递增，故应有an+1an0，即 2n1k0 恒成立，所以k2n1，故只需k3 即可故选 B答案：答案：B
