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1、 2.6 换面法教学目的： 1.掌握换面法的基本原理，熟练掌握点的一次、二次换面 法的基本作图方法。 2.熟练掌握换面法的四个基本作图方法，并能用于解决空 间几何元素常见的度量问题和定位问题。 教学重点： 换面法的原理和应用换面法解决实际问题。 教学难点： 应用换面法解决空间几何元素常见的度量问题和定位问 题。2.6 换面法画法几何讨论的作图问题主要归结为两类。一是定位问题，即在投影图 上确定空间几何元素（点、线、面）和几何体的投影。二是度量问题，即根 据几何元素和几何体的投影确定它们的实长、实形、角度、距离等。由前面内容可知，当空间的直线、平面对投影面处于特殊位置 平 行或垂直时，上述两类问
2、题的作图较为简便。本节将研究如何改变空间几何 元素相对于投影面的位置，以达到有利于解题的目的。投影变换的方法很多，其中比较简单和常用的方法有两种:变换投影面法 （简称换面法）和旋转法。换面法是使空间几何元素保持不动，用新的投影面替换原有的某个投影 面，使空间几何元素对新投影面处于有利于解题的位置。旋转法是使空间几何元素绕垂直于某一投影面的轴线旋转，使空间几何 元素对投影面处于有利于解题的位置。本教材只讲述换面法和用换面法解决几何元素的定位和度量问题。 2.6 换面法2.6.1 换面规则更换投影面时，新投影面的位置并不是任意的。首先，空间几何元素在 新投影面上的投影要有利于解题;此外，新投影面还
3、要垂直于原来的某一个投 影面，构成新的两投影面体系（如图2-49所示）以便运用正投影原理由原来 的投影作出新投影。由于新投影面的位置选择受到上述限制，解答某些问题时，更换一个投 影面有时不能使空间几何元素与新投影面达到预期的相对位置，从而得不到 有利于解题的新投影。这时需连续进行两次或多次换面，但每次只能更换一 个投影面。如图2-50所示，先换V 面,再换H 面，也可以先换H 面再换V 面。 图2-49 一次换面图2-50 两次换面2.6 换面法2.6.2 求作点的新投影任何形体都可以看作是点的集合。所以，研究运用换面法解决某些作图 问题之前，首先要讨论点的新投影的作法。1.一次换面如图2-5
4、1所示为更换正立投影面V时点的投影变换规律。 图2-51 点的一次变换（换V面）设给出V、H投影面体系（以后简称V/H体系）中的点A及其投影a、a。 新投影面V1 垂直于原投影面H，替换原V面变成新投影面体系V1/H，称为更 换正立投影面。其中，H面称为保留投影面、V 面称为被替换投影面、V1 面 称为新投影面。H与V1 面的交线X1 称为新投影轴，简称新轴。原投影轴X称 为旧轴。2.6 换面法将点A向V1 面作垂直投射，得到新投影a1 。在新、旧投影面体系中，由于 H面保持不动，所以点A到H面的距离（Z坐标）不变，因而有a1 aX1 =aaX。若使V1 面绕新轴X1 旋转重合于H面，则得如图
5、2-51（b）所示的投影图。在 投影图上有:aa1 X1 ;a1 aX1 =aaX 。其中a称为保留投影;a称为被替换投 影;a1 称为新投影。由上述分析可得出给定新轴X1 的位置后求A点的新投影a1 的作图步骤: （1）过保留投影a作直线aaX1 X1 ，得垂足aX1 。（2）自aX1 在垂线上截取aaX1 =aaX 得点a1 ，a1 即是点A在V1 面上的 新投影。图2-52表示更换H面。取新投影面H1 ，使H1 V，原投影面体系V/H变换成 V/H1 。V 面为保留投影面;H面为被替换投影面;H1 面为新投影面。 图2-52 点的一次换面（换H面）2.6 换面法设点A在H1 面上的投影为
6、a1 ，此时，点A到V面的距离（y坐标）不变， 所以有a1a X1=aaX 。当新投影面H1 绕X1 轴旋转重合于V面后，在投影图 上有aa1X1 ;a1aX1 =aaX 。综合上述更换投影面的两种情况，得如下 投影规律: （1）点的新投影与保留投影的连线垂直于新轴。（2）新投影到新轴的距离等于被替换投影到旧轴的距离。当新投影面的位置（新轴的位置）确定后，由点的原来投影作其新投影 的步骤为: （1）过点的保留投影作直线垂直于新轴，得一垂足。（2）自垂足在所作垂线上截取线段等于被替换投影到旧轴的距离，截得 的点即为所求新投影。直线或平面的变换，可归结为直线上的两点或平面上三点的变换，其方 法、步
7、骤与上述相同。 2.二次换面图2-53表示更换两次投影面时求作点的新投影的方法，其作图原理与更 换一次投影面相同。2.6 换面法在V.H体系中，先用V1 替换V，V1 H，组成V1/H投影面体系（H为保留 投影面），求出a1。再把V1/H当作原投影面体系，用新投影面H1 替换H，H1V1 ，组成新 的V1/H1 投影面体系，求出新投影a1 。此时V1 面为保留投影面，被替换投 影面则指H面。V1 、H1 面的交线为新轴X2 ，而X1 在第二次换面时被称为旧 轴。二次换面时，点的投影变换规律仍适用，即a1a1X2;a1 aX2 =aaX1 ， 如图2-53（b）。在换面顺序上可以有两种方案，即V
8、/HV1/HV1/H1 或 V/HV/H1 V1/H1 ，由需要而定。 图2-53 点的二次变换2.6 换面法2.6.3 基本作图问题用换面法解答各类定位与度量问题时，均可归结为下列四个基本作图问题。 1.把一般位置直线变换成新投影面平行线由前述规则可知，要把一般位置直线变换成新投影面平行线，所选新投影面 应与直线平行，同时又垂直于保留的原投影面，从而新轴应平行于直线的保留投 影。 如图2-54（a）所示，AB为V/H体系中的一般位置直线。若更换V面，把AB变 换成V1 面的平行线，则新投影面V1 应平行于AB且垂直于H。此时新轴X1 应平行 于AB的水平投影ab。新轴确定后，可按点的新投影的
9、作法作出直线AB的新投影a1b1，AB变换成V1/H体系内的平行线。 图2-54 把一般位置直线变换成V1 面平行线2.6 换面法作图 如图2-54（b）所示，作新轴X1ab，作出点A及点B在V1 面上的 新投影a1b1。a1b1反映线段AB的实长，它与X1 轴的夹角为直线AB对H面的倾 角。若更换H面，可将AB变换成H1 面的平行线,如图2-55所示。此时X1ab， a1b1反映AB 的实长，a1b1与X1轴的夹角即为AB对V 面的倾角。图2-55 一般位置直线变H1 面平行线 2.6 换面法2.把一般位置直线变换成新投影面垂直线要把一般位置直线变换成新投影面垂直线，只更换一个投影面显然不行
10、。 因为找不到一个新投影面，既与一般位置直线垂直，又与一个原投影面垂直。 但如果所给直线是投影面平行线，要将其变换成新投影面垂直线，更换一次投 影面即可完成。如图2-56（a）所示，AB为V/H体系内的正平线，若将其变换成 新投影面垂直线,需设新投影面H1AB。又因为ABV，所以H1必定垂直于V面。 AB变换为V/H1体系内的垂直线。作图 作新轴X1ab，并作出AB在H1面上的新投影a1b1 。a1、b1 重影 为一点，图2-56（b）为其投影图。 图2-56 平行线变新投影面垂直线2.6 换面法综上可知，要把一般位置直线变换为新投影面垂直线，必须两次更换投影 面。如图2-57（a）所示，把V
11、/H体系内的一般位置直线AB先换成V1/H体系内的 平行线，再换成V1/H1体系内的垂直线，作图过程如图2-57（b）所示。图2-57 一般位置直线变新投影面垂直线2.6 换面法3.把一般位置平面变换成新投影面垂直面如图2-58（a）所示，平面ABC在V/H体系内为一般位置平面。若把它变 换成新投影面垂直面，可设新投影面V1 替换原投影面V，并使V1 垂直ABC 内的一直线L。为保证V1 同时垂直于H面，应取LH，即L为ABC内的水平 线。根据投影性质可知，新轴X1 l。图2-58 一般位置平面变V1 面的垂直2.6 换面法作图 在ABC内取水平线L（l、l）。作X1l，按点的新投影的作法，作
12、 出ABC各顶点在V1面上的新投影a1、b1、c1。由于LV1ABCV1，所以 a1b1c1成一直线。a1b1c1与X1轴的夹角为ABC对H面的倾角。同理， 也可以更换H面把ABC变换为V/H1体系内的垂直面，如图2-59所示。此时，a1b1c1 与X1轴的夹角为ABC 对V 面的倾角。图2-59 一般位置平面变H1 面的垂直面 2.6 换面法4.把一般位置平面变换成新投影面平行面要把一般位置平面变换成新投影面平行面，必须两次更换投影面。第一 次把一般位置平面变成新投影面垂直面，原理与作图方法如前所述。第二次 把垂直面再更换成新投影面平行面。如图2-60（a）所示，平面ABCV1 ，再设新投
13、影面 H1ABC 且 H1V1。根据平行面的投影性质，新轴X2a1b1c1。在H1面上作出ABC 顶点的新投影a1、b1、c1，a1b1c1为ABC的实形。如图2-60（b）所示为一般位置平面两次变换为新投影面平行面的作图 过程。应当注意，两次或多次换面时，不能连续更换同一个投影面，而应两个 投影面交替更换。将上述四个基本作图问题综合运用，可以解决多种定位与 度量问题。如由垂直面变换为投影面的平行平面。由一般位置平面变换为投 影面的平行面等。 2.6 换面法图2-60 平面的两次变换2.6 换面法2.6.4 解题举例 【例2-14】 试过点A作直线与已知直线BC垂直相交，如图2-61所示。分析
14、 当直线BC平行于某投影面时，由直角投影定理可知，与BC垂直的直 线在该投影面上的投影反映其垂直关系。将直线BC由一般位置变换为某投影面 平行线，需更换一次投影面。图2-61 过A作直线与BC垂直相交2.6 换面法作图 （1）用V1替换V（也可以用H1替换H），将BC换成V1面的平行线。 （2）点A随同直线BC一起变换，得新投影a1。 （3）过a1向b1c1作垂线，垂足为e1。e1即为两线垂直相交后的交 点E在V1 面上的投影。（4）将e1逆变换返回到V/H体系，求出e及e1。连接ae、ae即为 所求。讨论 此题也可以将点A及直线BC看成同一平面。将平面ABC变换成新投影 面平行面，在反映实形
15、的新投影上作出点A 到直线BC的距离AE，然后返回到原 投影面体系即可。同样方法也可以求出两平行直线间的距离、两相交直线间的 夹角、作角平分线等。因此，凡属同一平面内几何元素的定位、度量问题，均 可将此平面变换成新投影面平行面加以解决。2.6 换面法【例2-15】 求点K到平面P（ABCD）的距离。分析 如图2-62（a）所示，若过点K向平面P引垂线，则点K到垂足L的距 离就是K到平面P的距离。如果平面P是某投影面垂直面，则垂线KL就是该投影面 的平行线，距离可直接反映在投影图上。 图2-62 求点到平面的距离2.6 换面法由于P平面属于一般位置平面，故本题需更换一次投影面，将其变换成新 投影
16、面垂直面。作图 （1）更换V面，把平面P变换成V1面的垂直面。作新轴X1ad（AD、 BC为P内水平线）。（2）作出P在V1 面上的新投影p1及点K的新投影k1。（3）过k1向p1作垂线，垂足为l1。k1l1即为点K到平面P的距离， 见图2-62（b）。讨论 如果需要作出KL的投影，可按照点的变换规则把l1返回到V/H体 系。因KL是V 面的平行线，所以过k作klX1 即可求出l。再由l、l1定l。 2.6 换面法【例2-16】 求交叉两直线AB、CD之间的距离及公垂线的投影。 分析 交叉两直线间的距离即是它们之间公垂线的实长。如图2-63（a）所示，若使两交叉直线之一CD变换成新投影面H1的垂直线 时，AB、CD的公垂线MN 必为该投影面的平行线，MN在H1面上的投影m1n1反映 公垂线的实长;另一条直线AB虽为一般位置直线，但因MN
