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1、 1对应学生用书 P371正射影的概念给定一个平面 ，从一点 A 作平面 的垂线，垂足为点 A，称点 A为点 A 在平面 上的正射影一个图形上点 A所组成的图形，称为这个图形在平面 上的正射影2平行射影设直线 l 与平面 相交，称直线 l 的方向为投影方向，过点 A 作平行于 l 的直线(称为投影线)必交 于一点 A，称点 A为 A 沿 l 的方向在平面 上的平行射影一个图形上各点在平面 上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影3正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直而平行射影的投影光线与投影
2、面斜交平面图形的正射影与原投影面积大小相等而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积4两个定理(1)定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆(2)定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l与 l 相交于 O 点，夹角为 ，l围绕 l旋转得到以 O 为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面 ，若它与轴 l 的交角为 (当 与 l平行时，记 0)，则，平面 与圆锥的交线为椭圆，平面 与圆锥的交线为抛物线AB，ACAC，AB2AC2 时，平面 与圆锥的交线为椭圆思路点拨 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理 1 的方法证明，即 Dandelin 双球法证明 如图，在圆锥内部嵌入 Dandelin 双球，一个
3、位于平面 的上方，一个位于平面 的下方，并且与平面 及圆锥均相切当 时，由上面的讨论可知，平面 与圆锥的交线是一个封闭曲线设两个球与平面 的切点分别为 F1、F2，与圆锥相切于圆 S1、S2.在截面的曲线上任取一点 P，连接 PF1、PF2.过 P 作母线交 S1于 Q1，交 S2于 Q2，于是 PF1和 PQ1是从 P 到上方球的两条切线，因此 PF1PQ1.同理，PF2PQ2.所以 PF1PF2PQ1PQ2Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆 S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P 的位置无关，由此我们可知在 时，平面 与圆锥的交线为一个椭圆由平面中，直线与等腰三角形两
4、边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用 Dandelin 双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决56圆锥的顶角为 50，圆锥的截面与轴线所成的角为 30，则截线是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：由 25，30，502截线是椭圆答案：B7如图，已知平面 与圆锥的轴的夹角为 ，圆锥母线与轴的夹角为 ，求证：平面 与圆锥的交线为抛物线证明：当 时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合在圆锥内嵌入一个Dandelin 球与圆锥交线为圆 S.记圆 S 所在平面为 ， 与 的交线记为 m.球
5、切 于 F1点在截口上任取一点 P，过 P 作 PAm 于 A，过 P 作 PB平面 于 B，过 P 作圆锥的母线交平面 于 C，连接 AB，PF1，BC.由切线长定理，PF1PC.PB 平行于圆锥的轴，APB，BPC.在 RtABP 中，PA，PBcos 在 RtBCP 中，PC.PBcos ，PCPA.PF1PA，即截口上任一点到定点 F 和到定直线 m 的距离相等截口曲线为抛物线对应学生用书 P39一、选择题1一条直线在一个面上的平行投影是( )A一条直线 B一个点6C一条直线或一个点 D不能确定解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点答案：C2ABC 的一边在平面 内，一顶点在平面 外
6、，则ABC 在面 内的射影是( )A三角形 B一直线C三角形或一直线 D以上均不正确解析：当ABC 所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形答案：D3下列说法不正确的是( )A圆柱面的母线与轴线平行B圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：显然 A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正确，C显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确答案：D4设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为 120，当圆锥的截面与轴成
7、 45角时，则截得二次曲线的离心率为( )A. B.222C1 D.12解析：由题意知 60，45，满足 ，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为 e.cos 45cos 602答案：B二、填空题5用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是_、_.解析：联想立体图形及课本方法，可得结论要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况答案：圆 圆或椭圆6有下列说法矩形的平行射影一定是矩形；7梯形的平行射影一定是梯形；平行四边形的平行射影可能是正方形；正方形的平行射影一定是菱形；其中正确命题有_(填上所有正确说法的序号)解析：利用平行射影的概念和性质进行判断答案：7在底面半径为 6 的圆柱内有两个半径也为
8、6 的球面，两球的球心距为 13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为_解析：如图，为圆柱的轴截面，AB 为与两球 O1和球 O2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知 AB 过圆柱的几何中心 O.由O1OOD，O1COA，故OO1CAOD，且 O1COD6，所以 RtOO1CRtAOD，则 AOO1O.故 AB2AO2O1OO1O213.显然 AB 即为椭圆的长轴，所以 AB13.答案：13三、解答题8ABC 是边长为 2 的正三角形，BC平面 ，A、B、C 在 的同侧，它们在 内的射影分别为 A、B、C，若ABC为直角三角形，BC 与 间的距离为 5，求A
9、 到 的距离解：由条件可知 ABAC，BAC90.设 AAx，在直角梯形 AACC 中，AC24(5x)2，由 AB2AC2BC2，得 24(x5)24，x5.2即 A 到 的距离为 5.29若圆柱的一正截面的截线为以 3 为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成 60，求截线椭圆的两个焦点间的距离解：设椭圆长半轴为 a，短半轴为 b，半焦距为 c，则 b3，8a326，bcos 60c2a2b2623327.两焦点间距离 2c26.27310.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为，AB、CD 是圆2锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD 和母线 VB 的中点 E 作一截面，求截面与圆锥的轴线所
10、夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解：设O 的半径为 R，母线 VAl，则侧面展开图的中心角为，2Rl2圆锥的半顶角 .4连接 OE，O、E 分别是 AB、VB 的中点，OEVA，VOEAVO .4又ABCD，VOCD，CD平面 VAB.平面 CDE平面 VAB.即平面 VAB 为截面 CDE 的轴面，VOE 为截面与轴线所夹的角，即为 .4又圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面 CDE 与圆锥的截线为一抛物线模块综合检测对应学生用书 P45(时间：90 分钟，满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
11、题目要求的)1RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，该图中只有 x 个三角形与ABC 相似，则 x 的值为( )A1 B2C3 D4解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，ACD、BCD 均与ABC 相似9答案：B2已知：如图，ABCD 中，EFAC 交 AD、DC 于 E、F，AD，BF 的延长线交于M，则下列等式成立的是( )AAD2AEAMBAD2CFDCCAD2BCABDAD2AEED解析：在ABCD 中，ADBC，ABDC.DFAB，.ADAMBFBMDMBC，.BFBMCFDCEFAC，.AEADCFDC，AD2AEAM.ADAMAEAD答案：A3对于半径为 4 的圆在平面上
12、的投影的说法错误的是( )A射影为线段时，线段的长为 8B射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为 8C射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为 8D射影为圆时，圆的直径可能为 4解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为 8.答案：D4如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是( )10解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是 D.答案：D5如图，PA，PB 是O 的切线，AC 是O 的直径，P50，则BOC 的度数为( )A50 B25C40 D60解析：因为 PA，PB 是O 的切线，所以OAPOBP90，而P50，所以AOB360909050130
13、，又因为 AC 是O 的直径，所以BOC18013050.答案：A6.如图，已知O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35，过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于点 P，那么P 等于( )A15 B20C25 D30解析：OAOC，A1，POC2A70.OCPC，P90POC20.答案：B7如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，DAB80，则ACO 等于( )A30 B35C40 D45解析：CD 是O 的切线，OCCD.又ADCD，OCAD，由此得ACOCAD.OCOA，CAOACO，CADCAO.故 AC 平分DAB，CAO40
14、.又ACOCAO，ACO40.11答案：C8.(天津高考)如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于点 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是( )A BC D解析：因为BADFBD，DBCDAC，又 AE 平分BAC，即BADDAC，所以FBDDBC，所以 BD 平分CBF，结论正确；易证ABFBDF，所以，ABAFBDBF所以 ABBFAFBD，结论正确；由切割线定理，得 BF2AFDF，结论正确；由相交弦定理，得 AEDEBECE，结论错误选 D.答案：D9如图，P 为圆外一点，PA 切圆于点 A，PA8，直线 PCB 交圆于 C，B 两点，且 PC4， ADBC，垂足为点D，ABC，ACB，连接 AB，AC，则等于( )
