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1、談Stirling公式的改良蔡永裕壹. 緣 起從學生時代接觸到 Stirling 公式後, 就被它深深吸引利用一個簡單的計算式, 三招兩式下就能求得原來必須反覆計算才能求解的數據。 但除非 n 階乘的 n 真的夠大, 大到遠遠超乎我們的實用範圍, 否則其精確度始終令人不太敢恭維! 例如相對誤差只要求萬分之一, n 竟然就要高於 800, (此時 n! 的值是幾乎是 10 的 2000次方)。 在現代, 個人電腦如此普及的情況下想算得 n! 精確一點的數據, 難道還是這麼可望而不可及嗎? 在一次偶然的機緣中找到了其改良式, 原已準備發表, 卻因為搬家而造成了論文資料遺失 (包含文件失蹤、 磁片發
2、霉、 電腦故障等三衰齊至)。 因為筆者個性隨緣, 便也隨匆匆歲月而淡忘此事。 最近失蹤已久的文件忽重現江湖,在賢妻的督促下, 遂配合電腦重新撰寫本文,順便為本刊66期蔡聰明先生大作 談 Stir-ling 公式 做一補充。貳. Stirlings formulan!=ennn2n + h(1) .=ennn2n;(2)n = 1,2,3,.註:e=2.71828 18284 59045 2353602874 71352 66249 7757247093.=3.14159 26535 89793 2384626433 83279 50288 4197169399.(0 h n!1 12n)使用
3、(2) 式在所謂 大的 n 值 時, 會得到 n! 的漸近相等值。 但是 n 值究竟要大到多少, 代入式子中才會有令人滿意的結果呢?100? 500? 1000? ., 經過驗算後, 雖然這些數據已大到幾乎超越一般工程運算所能使用到的範圍, 卻總有幾分美中不足之憾。 也就是說54談Stirling公式的改良551. n 值如果不夠大 (例如小於70), 則以一般工程用計算機直接將答案按出即可,就算再大些, 使用 Microsoft 的視窗軟體工具 小算盤 等類似工具, 亦可算到170!, 使用 Stirling 公式的誤差太大, 幾乎無使用的必要;2. 稍大些的 n 值 (如 70 1000,
4、 或171 1000), 使用 Stirling 公式的誤差勉強可以接受, 但若需要較精確的數值就必需自行撰寫程式 (務必要考慮計算機的捨位誤差), 並耗費一些 可感受到 的運算時間;3. 更大些的 n 值 (如大於1000), 使用Stirling 公式的誤差已更小, 直接套用已較無問題。 但如果對數值的要求嚴苛些(例如相對誤差是 10 的 8 次方, 甚至10 次方), 不自行撰寫程式都不行, 但所需的運算時間就顯得有些可怕了。參. Stirling 公式的改良構想民國78年 6月, 某日面對著自然對數的底數 e 時, 靈機一動 e 是由 n! 而來:e = 1+1+1 2!+1 3!+1
5、 n!+(3)e 和 n! 兩者互相有密切關係。 在計算 e 時要使用到足夠大的 n! , 為什麼在反算 n!時, Stirling公式的 e 就要用精確值去代入呢? 為何不配合 n 值去作一些修正呢? 也許用一個由 e 的漸近相等值 E, 就能提高 Stir-ling 公式的精度!如果這個假設可行, E 值如何求得呢?我們所先假設n!.= Ennn2n(4)此時 (4) 式是一個比 (2) 式更逼近的式子,由 (4) 式知表一. n!之精確值56數學傳播20卷4期 民85年12月nn!之 精 確 值 11 22 36 4(1)2.4000000000000000000 5(2)1.20000
6、000000000000006(2)7.2000000000000000000 7(3)5.0400000000000000000 8(4)4.0320000000000000000 9(5)3.6288000000000000000 10(6)3.628800000000000000011(7)3.9916800000000000000 12(8)4.7900160000000000000 13(9)6.2270208000000000000 14( 10)8.7178291200000000000 15( 12)1.307674368000000000016( 13)2.092278988
7、0000000000 17( 14)3.5568742809600000000 18( 15)6.4023737057280000000 19( 17)1.2164510040883200000 20( 18)2.432902008176640000021( 19)5.1090942171709400000 22( 21)1.1240007277776076800 23( 22)2.5852016738884976640 24( 23)6.2044840173323943936 25( 25)1.551121004333098598426( 26)4.0329146112660563558 2
8、7( 28)1.0888869450418352161 28( 29)3.0488834461171386050 29( 30)8.8417619937397019545 30( 32)2.6525285981219105864100( 157)9.3326215443944152682 200( 374)7.8865786736479050355 300( 614)3.0605751221644063604 400( 868)6.4034522846623895262 500(1134)1.2201368259911100687600(1408)1.2655723162254307425 7
9、00(1689)2.4220401247502721799 800(1976)7.7105301133538600414 900(2269)6.7526802209645841584 1000(2567)4.0238726007709377354談Stirling公式的改良57表二. 精確 E 值與 lnEnE值lnE 12.5066282746310090.918938533204676 22.6626707276007870.979329652022298 32.6933183608838630.990774024771669 42.7041897565950930.99480233197
10、4061 52.7092478812076740.99667106176203862.7120025541212380.997687311862823 72.7136659504867120.998300470007732 82.7147465352411220.998698591842255 92.7154878259527360.998971615313034 102.7160182894975250.999166943656665112.7164108922128210.999311484046552 122.7167095669927980.999421429991068 132.71
11、69420470158610.999507000447078 142.7171265382298720.999574902134805 152.7172753927348790.999629684429871162.7173972301472790.999674521505027 172.7174982134564210.999711682591271 182.7175828436482440.999742824791706 192.7176544698790110.999769181039516 202.7177156258801060.999791684015402212.71776825
12、70827310.999811049799115 222.7178138772257360.999827835542345 232.7178536784008630.999842479990233 242.7178886097096750.999855332442377 252.7179194343619570.999866673774533262.7179467717130030.999876731914307 272.7179711286146710.999885693382127 282.7179929230755250.999893712000590 292.7180125023130
13、930.999900915539231 302.7180301566673740.9999074108356771002.7182591762803680.999991666694445 2002.7182761653825270.999997916668405 3002.7182793115335290.999999074074419 4002.7182804126879310.999999479166778 5002.7182809223653800.9999996666667136002.7182811992272750.999999768518541 7002.718281366166
14、2950.999999829931987 8002.7182814745161450.999999869791675 9002.7182815488004480.999999897119346 10002.7182816019355810.99999991666667158數學傳播20卷4期 民85年12月表三. 精確 F 值nF值 1( 1)1.233631760605749 2( 1)4.837847921470628 3( 2)1.083896255139740 4( 2)1.923939726449418 5( 2)3.0039608082732456( 2)4.32397254054
15、6076 7( 2)5.883979715271353 8( 2)7.683984413719254 9( 2)9.723987654369688 10( 3)1.20039899821986211( 3)1.452399170988189 12( 3)1.728399302697857 13( 3)2.028399405380684 14( 3)2.352399486977861 15( 3)2.70039955287762516( 3)3.072399606870996 17( 3)3.468399651648582 18( 3)3.888399689197986 19( 3)4.3323
16、99720988754 20( 3)4.80039974815001821( 3)5.292399771558599 22( 3)5.808399791807784 23( 3)6.348399809517909 24( 3)6.912399825025318 25( 3)7.50039983879495526( 3)8.112399850929879 27( 3)8.748399861770959 28( 3)9.408399871581025 29( 4)1.009239988025255 30( 4)1.080039988817407100( 5)1.200004000085739 200( 5)4.800004005088134 300( 6)1.080000402338432 400( 6)1.920000410436784 500( 6)3.000000417246626600( 6)4.320000419540119 700( 6)5.880000491136621 80
