小学五年级奥数+行程问题1

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1、小学奥数辅导及练习 五年级奥数讲座五年级奥数讲座 行程问题行程问题 1 1内容概述内容概述涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑典型问题典型问题1.1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时 60 千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时 55 千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解分析与解】 设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间,2 60现在从甲到乙花费了

2、时间 155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是1 55.211 605566即如果他想按时返回甲地,他应以每小时 66 千米的速度往回开2.2. 甲、乙两地相距 100 千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1 小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时 50 千米,中途减速后为每小时 40 千米.汽车速度是每小时 80 千米,汽车曾在途中停驶 1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为 10080=1.25 小时=1 小时 15 分钟,加上中途停驶的 10 分钟,共用时 1 小时 25 分钟而

3、小张先小李 1 小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了 2 小时 25 分钟，即 2 最小时以下给出两种解法：方法一方法一: :设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后小时,有 50+40xx,解得.5210012x1 3x 小学奥数辅导及练习 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后小时.1 3方法二方法二: :如果全程以每小时 50 千米的速度行驶,需 10050=2 小时的时间,全程以每小时 40 千米的速度行驶,需 10040=2.5 小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时 50 千米的速度行驶了的路程,52.52112 2.526 即行驶了 100千米的路程,距出发小时.150100

4、6350150333.3. 一位少年短跑选手,顺风跑 90 米用了 10 秒钟.在同样的风速下,逆风跑 70 米,也用了10 秒钟.问:在无风的时候,他跑 100 米要用多少秒?【分析与解分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速.有顺风时速度为 9010=9 米/秒,逆风速度为 7010=7 米/秒则无风速度=米/秒2顺风速度逆风速度9827所以无风的时候跑 100 米，需 1008=12.5 秒. 4.4. 一条小河流过 A，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11 千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时

5、3.5 千米.已知 A,C 两镇水路相距 50 千米,水流速度为每小时 1.5 千米.某人从 A 镇上船顺流而下到 B 镇,吃午饭用去 1 小时,接着乘木船又顺流而下到 C 镇,共用 8 小时.那么 A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解分析与解】 如下画出示意图，小学奥数辅导及练习 有 AB 段顺水的速度为 11+1.5=12.5 千米/小时,有 BC 段顺水的速度为 3.5+1.5=5 千米/小时而从 AC 全程的行驶时间为 8-1=7 小时设 AB 长千米,有,解得=25x50712.55xxx所以 A,B 两镇间的距离是 25 千米.5.5.一条大河有 A,B 两个港口,水由 A

6、流向 B,水流速度是每小时 4 千米.甲、乙两船同时由A 向 B 行驶,各自不停地在 A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时 28 千米,乙船在静水中的速度是每小时 20 千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在 A 处同时开始出发的那一次)的地点相距 40 千米,求 A,B 两个港口之间的距离.【分析与解】 设 AB 两地的路程为单位“1”,则：甲、乙两人在 A、B 往返航行，均从 A 点同时同向出发,则第次同向相遇时,甲、乙n两人的路程差为 2；n甲、乙两人在 A、B 往返航行,均从 A 点同时同向出发,则第次相向相遇时,甲、乙n两人的路程和为 2；n

7、甲、乙两人在 A、B 往返航行,分别从 A、B 两点相向出发,则第次同向相遇时,甲、n乙两人的路程差为(2-1)；n甲、乙两人在 A、B 往返航行,分别从 A、B 两点相向出发,则第次相向相遇时,甲、n乙两人的路程和为(2-1)n有甲船的顺水速度为 32 千米/小时,逆水速度为 24 千米/小时，乙船的顺水速度为 24 千米/小时，逆水速度为 16 千米/小时.两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.小学奥数辅导及练习 (一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了 23 个 AB 长度，乙走了 21 个 AB 长度，设甲走了 2个 AB 的长度,则乙走了

8、 2-个 AB 的长度,有xx，解得，即第二次迎面相遇的地点距 A 点AB 的距11 322432x11 2416x1 3x 1 3 离.(二)第二次甲追上乙时，有甲行走(为整数，1)个 AB 的长度，则乙2yzyz行走了个 AB 的长度，有24yz，化简得，显然无法满足为整数，322432yyz22 241624yyz320yzy1；z小学奥数辅导及练习 第二次甲追上乙时，有甲行走(y 为整数，1)个 AB 的长度，则乙行21yz z走了个 AB 的长度，有23yz ，化简有，有，.1 322424yyz12 241616yyz3213yz0.5z 4y 即第二次甲追上乙时的地点距 B 点A

9、B 的距离，那么距 A 也是AB 的距离1 21 2所以，题中两次相遇点的距离为(AB，为 40 千米，所以 AB 全长为 240111 236千米.6.6.甲、乙两船分别在一条河的 A，B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达 B 地、乙到达 A 地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行 1000 米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为 1 小时 20 分,那么河水的流速为每小时多少千米?【分析与解分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达 B、A 两地.接着两船再分别从

10、B、A 两地往 AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有:甲静水速度+水速=乙静水速度水速.还有从开始到甲第一次到达 B 地，乙第一次到达 A 地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的 1000 米是在甲、乙各自返航时产生的甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为 4 倍水速从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了 2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了 AB 的路程,需时间 802=40 分钟小学奥数辅导及练习 有 4 倍水速=,有水速

11、=375 米/小时=0.375 千米/小时401000150060即河水的流速为每小时 0.375 千米7.7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?【分析与解分析与解】 甲行走 45 分钟，再行走 7045=25 分钟即可走完一圈.而甲行走 45分钟，乙行走 45 分钟也能走完一圈.所以甲行走 25 分钟的路程相当于乙行走 45 分钟的路程甲行走一圈需 70 分钟，所以乙需 702545=126 分钟即乙走一圈的时间是 126 分钟8.8.如图 3-1，甲和乙两人分

12、别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长【分析与解分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，1 2当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完 1+圈的路程1 23 2所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 1003=300 米有甲、乙第二次相遇时，共行走(1 圈60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长3 2 为 480 米小学奥数辅导及练习 9.9.甲、乙二人在同一条

13、椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了；乙跑第二圈时速度提高了已知沿2 31 31 5 跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米?【分析与解分析与解】设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度为 2，甲跑第二圈的速度为 4，乙跑第二圈的速度为.12 5如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点的跑道长度3 5有甲回到出发点时，乙才跑了的跑道长度.在乙接下来跑了跑道的距离时，甲以2 31 3“4”的速度跑了

14、圈122 433 所以还剩下的跑道长度，甲以 4 的速度，乙以的速度相对而跑，所以乙跑了1 312 5圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点圈1121243551 81 8即第一次相遇点与第二次相遇点相差圈，3119 5840所以，这条椭圆形跑道的长度为米1919040040小学奥数辅导及练习 10.10.如图 3-2，在 400 米的环形跑道上，A,B 两点相距 100 米.甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上

15、乙的时间为 100(5-4)=100 秒此时甲跑了 1005=500 米，乙跑了 1004=400 米而实际上甲跑 500 米，所需的时间为 100+410=140 秒，所以 140150 秒时甲都在逆时针距 A 点 500 处而乙跑 400 米所需的时间为 100+310=130 秒，所以 130140 秒时乙走在逆时针距B 点 400 处显然从开始计算 140 秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是 140 秒11.11.周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A，B 两点甲、乙两人分别从 A，B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A 时，乙恰好跑到B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米?【分析与解分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为 C.小学奥数辅导及练习 当甲跑了 AC 的路程时，乙跑了 BC 的路程；而当甲跑了 400 米时，乙跑了 2BC 的路程由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达 A 点所需时间的.1 2即 AC=400=200(米)，也就是甲跑了 200 米时，乙跑了 100 米，所以甲的速度是1 2 乙速度的 2 倍那么甲到达 A，乙到达 B 时，甲追上乙时需比乙多跑 400-100=300 米的路程，所以此后甲还需跑 300(2-