四川省2018届高三春季诊断性测试数学（理）试题解析版

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1、1数学（理科）数学（理科）第第卷卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为, 所以，故选 A. 2. 若向量与向量共线，则（ ）A. 0 B. 4 C. D. 【答案】D【解析】因为与向量共线，所以，解得，故选 D.3. 若虚部大于 0 的复数 满足方程，则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知：，

2、故，所以共轭复数为故选 B4. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为 2，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C2【解析】由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为 8，圆柱的底面半径为 2，高为 6，则该几何体的体积为：.本题选择 C 选项.点睛：点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解5. 设满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 9 B

3、. 8 C. 3 D. 4【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点处取得最大值，其最大值为.本题选择 A 选项.6. 若，则的值构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由知，即，当时，所以，从而，当时，所以3，因此选 C. 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. -1【答案】B8. 的展开式中不含项的各项系数之和为（ ）A. 485 B. 539 C. -485 D. -539【答案】C9. 已知函数为偶函数，当时，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得：因为在

4、定义域为增函数，在 R 上为增函数，故 f（x）在为增函数，函数为偶函数，又；4，故-,所以故选 A10. 过双曲线的左焦点 作圆的切线，此切线与的左支、右支分别交于 ， 两点，则线段的中点到 轴的距离为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】因为直线过双曲线左焦点，设直线为，因为与圆相切知，解得，当时不与双曲线右支相交，故舍去，所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得，所以，即中点的纵坐标为 3，所以线段的中点到 轴的距离为 3，故选 B.11. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递减，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由

5、题可知，又在上单调递减，所以，得：，故得 的取值范围为故选 D12. 已知直线 是曲线与曲线的一条公切线， 与曲线切于点，且 是函数的零点，则的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意可知： 与曲线切于点，故切线方程为：，又直线 是曲线与曲线的一条公切线，设的切点为（） ，所以整理得：，又 是函数的零点，所以的解析式可能为，故选 B5点睛：节本题关键为对切线方程的求法的熟悉，根据切线方程斜率和切点可以列出两个等式，然后消掉 t得到关于 a 方程从而确定 f（x）的表达式第第卷卷二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸

6、上）分，将答案填在答题纸上）13. 我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人，这三面要征调 300 人，而北面共征调 108 人（用分层抽样的方法） ，则北面共有_人 ”【答案】8100【解析】因为共抽调 300 人，北面抽掉了 108 人，所以西面和南面共 14400 人中抽出了 192 人，所以抽样比为，所以北面共有人，故填 8100.14. 若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为_

7、【答案】【解析】当时，由椭圆定义知，解得，不符合题意，当时，由椭圆定义知，解得，所以，故填. 点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中的取值，从而确定 c,计算椭圆的离心率.15. 在中，且，则边上的高为_【答案】【解析】由题可知：根据正弦定理可得，由可得 AC=6,由余弦定理：，设 AB 边上的高为 h，由等面积法可得：故边上的高为16. 在底面是正方形的四棱锥中，底面，点 为棱的中点，点 在棱上，平面与交于点 ， 且，则四棱锥的外接球的表面积为_6【答案】【解析】如图：,建立以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，PA 为 z 轴的空间直角坐标系，则，因为 E.

8、F.K.C 四点共面，所以,故四棱锥 K-ABCD 的外接球球心在过正方形 ABCD 的中心且垂直 ABCD 与 KA成都相等的线段的中点处，故外接球半径为： 故四棱锥的外接球的表面积为点睛：本题关键是要找到 K 的位置，可根据四点共面的向量结论来求得 K 的位置从而可以确定四棱锥的外接球球心的位置，进而得出半径求出表面积三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 设为数列的前 项和，已知，.（1）证明：为等比数列；（2）求.【答案】(1)见解析；（2）.

9、【解析】试题分析：（1）由递推关系式构造，从而证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的前 n 项和公式计算即可.试题解析：（1）证明：，7，则，是首项为 2，公比为 2 的等比数列.（2）解：由（1）知，则. .18. 根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量 （单位：）对工期的影响如下表：根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前 20 天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.（1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数的频率；（2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数 的分布列及数学期望与方差.【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（

10、1）根据折线图可知：的天数为 10，的天数为 6，的天数为 2，根据频率计算公式即得结论（2）直接由（1）可得分布列，然后根据期望和方差公式求解即可解析：（1）的天数为 10，的频率为.的天数为 6，的频率为.8的天数为 2，的频率为.（2） 的分布列为.点睛：频率=频数除以总数，首先要知道这三者之间的关系，然后根据分布列期望和方差公式求解即可19. 如图，在直三棱柱中， 为棱的中点，.（1）证明：平面；（2）设二面角的正切值为， 为线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求.【答案】 （1）见解析；（2）或.【解析】试题分析：（1）证明线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，通常构建三角形中

11、位线或者平行四边形，根据题意我们可以取的中点 ，连接，侧面为平行四边形， 为的中点，又，四边形为平行四边形，则.进而得出结论（2）先求出二面角，过 作于9，连接，则即为二面角的平面角.然后建立空间直角坐标系求出面 ABD 的法向量和斜线CE 的坐标，根据向量夹角公式得出等式即可求解.解析：（1）证明：取的中点 ，连接，侧面为平行四边形， 为的中点，又，四边形为平行四边形，则.平面，平面，平面.（2）解：过 作于 ，连接，则即为二面角的平面角.，.又，.以 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设平面的法向量，则，即，令，得.设， ，与平面所成角的正弦值为 ，或，即或.20. 已知曲线由

12、抛物线及抛物线组成，直线与曲线有个公共点.（1）若，求 的最小值；（2）若，自上而下记这 4 个交点分别为，求的取值范围.【答案】 （1） 的最小值为；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题意曲线 由抛物线及抛物线组成，故联立与10，得出交点个数，因为直线与曲线 有个公共点.且，所以再联立与，得综合两个结论即得出结论（2）设，根据弦长公式求出 AB 和 CD，然后求出的表达式建立 k的表达式，根据函数思维求出最值即可得出范围解析：（1）联立与，得， 与抛物线恒有两个交点.联立与，得.，.， 的最小值为.（2）设，则两点在抛物线上，两点在抛物线上，且，.， .，.21. 已知函数.（1）讨论函数

13、的单调性；（2）若对恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1）在上单调递减，在，上单调递增；（2） 的取值范围为.【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意11，根据 a 的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若对恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则，当时，或，则，在上递增，从而.若，令 ，当时，；当时，.综合得出结论即可解析：（1） ，当时，在上单调递增.当时，故当或时，在上单调递增.当时，令，得或；令，得.在上单调递减，在，上单调递增.（2）设，则，当时，或，则，在上递增，从而.此时，在上恒成立.若，令 ，当时，；当时，.12，则不合题意.故

14、的取值范围为.点睛：单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论，注意讨论的完整性，另外对于恒成立问题，通常是转化为最值问题求解，分析函数单调性求出最值解不等式即可22. 在平面直角坐标系中，圆 的参数方程为， （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 的极坐标方程为，且.（1）求圆 的极坐标方程；（2）设为直线 与圆 在第一象限的交点，求.【答案】 （1）圆 的极坐标方程为；（2）.【解析】 【试题分析】(1)先将圆的参数消掉得到圆的直角坐标方程,展开后利用直角坐标和极坐标转换公式得到圆的极坐标方程.将交点对应极坐标角度代入圆的方程,求得对应 的值,也即的值.【试题解析】解：（1）由，消去 得，即，故圆 的极坐标方程为.（2），且，.将代入，得，.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1）不等式的解集为；（2）.【解析】 （1）两边同时平方即可去掉绝对值号，求出不等式的解；（2）去掉绝对值号，分离参数根据恒成立即可求出 m 的取值范围.（1）由，得，13不等式两边同时平方得，解得，所求不等式的解集为.（2）当时，.，即，对恒成立，即，对恒成立，又，且，.点睛：恒成立问题一般要分离参数，转化为求函数的最大值或最小值来处理，本题需要考虑含绝对值的不等式如何去掉绝对值号分离参数是关键.