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1、1专题六专题六 测试题测试题1. 若实数k满足 00，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，解得，所以双曲线的方程为，故选A考点：双曲线的标准方程3. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到 的距离，故选 B.考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考
2、查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到 的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.视频4. 若抛物线y22px上恒有关于直线xy10 对称的两点A、B，则p的取值范围是 ( )A. ( ，0) B. (0， )C. (0， ) D. (，0)( ，)【答案】C【解析】设直线，代入中消去 得， ，由条件知线段的中点，即在直线上， ，故选 C5. 已知椭圆C： (ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF、BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF ，则椭圆C的离心率为 ( )A. B. C.
3、 D. 【答案】C3【解析】在中，由余弦定理可得，解得，又在中，由余弦定理得，所以，设椭圆右焦点是 ，则由椭圆对称性可得，所以，则离心率，故选 C6. 已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2x轴，若，则双曲线的离心率等于 ( )A. 2 B. 3C. D. 【答案】A【解析】设，因为，则，根据勾股定理可得由双曲线的定义知， ，故选 A7. 椭圆 (0b0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF22SIF1F2，则该椭圆的离心率为 ( )A. B. 4C. D. 【答案】A【解析】，设内切圆的半径为 ，则有，
4、整理得，即，所以,故选 A9. 已知椭圆C： (ab0)离心率为.双曲线x2y21 的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆C的方程为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意，双曲线的渐近线方程为，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，故边长为 4，（2，2）在椭圆 C：上，椭圆方程为：.故选 D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.视频10. 若直线l：axby10 始终平分圆M：x2y24x2y10 的周长，则(a2)2(b2)2的最5小值为 ( )A. B. 5C. 2 D. 10【答案】B【解析】圆 M：x
5、2y24x2y10 的标准方程为，圆心，所以，则，选 B.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系以及二次函数的最值，属于中档题。本题解题思路：根据圆的对称性，得出圆心在直线 上，求出之间的关系，再将所求的化为关于 的二次函数，求出最小值。11. 如图，已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线 (a0，b0)上，过P作y轴的垂线，垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为 ( )A. B. C. 2 D. 21【答案】B【解析】由题意知四边形的边长为，连接，由对称性可知，则三角形为等边三角形过点 作轴于点 ，则，因为，所以在直角三角形中，|，则，连结，则,由双曲线的定义知，所以双曲线的
6、离心率为，故选 B【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义与性质以及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出 ;构造的齐次式，求出 ;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据双曲线定义与性质以及菱形的性质可以建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率612. 抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为( )A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】设,由余弦
7、定理得 ,，的最大值为，故选 A【思路点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质、余弦定理及特殊角的三角函数，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.13. 双曲线 (a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为，结合题意可得.【名师点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：.2.已知渐近线设双曲线的标准方程为.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，垂足为对应准线与渐近线的交点.14. 过双曲线 (a0，b0)的一个焦
8、点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线上，则双曲线的离心率为_.【答案】7【解析】不妨设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，由得垂足的坐标为，把此点坐标代入方程，得，化简，并由得,故答案为 .15. 设抛物线x24y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则| _.【答案】10【解析】设，由题意知，且，两式相减整理得，所以直线的方程为，将代入整理得，所以，又由抛物线定义得，故答案为.16. 已知直线axby1(其中a、b为非零实数)与圆x2y21 相交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB为直角三角形，则的最小值为_.【答案】4【解析】为等腰直角三
9、角形，圆 的半径为 ， 到直线的距离为，即， ，等号在即时成立，所求最小值为 ，故答案为 【易错点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系以及利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.17. 已知圆C1：x2y2r2截直线xy0 所得的弦长为.抛物线C2：x22py(p0)的焦点在圆C1上.(1)求抛物线C2的方程；8(2)过点A
10、(1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程【答案】(1)x24y(2)xy10【解析】试题分析：（1）由题意，圆心到直线的距离，结合弦长求半径，从而得到焦点的坐标，进而写出拋物线的方程；（2）设直线 的方程为，设，直线方程与联立方程化简得到，从而利用韦达定理得到，再由两条切线互相垂直及导数的几何意义可得，从而解出 ，进而写出直线 的方程. 试题解析：(1)易求得圆心到直线的距离为 ，所以半径 r1.圆 C1：x2y21.抛物线的焦点(0， )在圆 x2y21 上，得p2，所以 x24y(2)设所求直线的方程为 yk(
11、x1)，B(x1，y1)，C(x2，y2)将直线方程代入抛物线方程可得 x24kx4k0，x1x24k因为抛物线 y，所以 y ，所以两条切线的斜率分别为、，所以1，所以 k1故所求直线方程为 xy1018. 在平面直角坐标系xOy中，已知点B(1,0)，圆A：(x1)2y216，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线与AP相交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；9(2)过点B(1,0)且斜率为 1 的直线与曲线C相交于E，F两点，求弦长|EF|【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由垂直平分线的性质可得在线段上，所以，利用椭圆的定义，可求曲线 的方程；（2）求出的方
12、程，联立直线与椭圆方程，设出义坐标，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的距离.试题解析：(1)由已知|QP|QB|，Q在线段PA上，所以|QA|QB|AQ|QP|4，所以点Q的轨迹是椭圆，2a4，a2,2c2，c1，所以b23，曲线C的方程为1(2)直线 EF 的方程为：yx1由消去 y 整理得 7x28x80，设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，所以 x1x2 ，x1x2 ，|EF|19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (ab0)经过点(1，e)，其中e为椭圆的离心率F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且MF1F2为等腰直角三角形.10(1)求椭圆C的方程；(2)设不
13、经过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，第一象限内的点P(1，m)在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当PAB的面积取得最大值时直线l的方程【答案】(1) (2) 试题解析： (1)椭圆1 经过(1，e)，1，又 e ，1，解之得 b21，椭圆方程为y21又MF1F2为等腰直角三角形，bc1，a，故椭圆方程为y2111(2)由(1)可知椭圆的方程为y21，故 P(1，)，由题意，当直线 l 垂直于 x 轴时显然不合题意设不经过原点的直线 l 的方程 ykxt(t0)交椭圆 C 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去 y 得(12k2)x24ktx2t220，(4kt)24(12k2)
14、(2t22)16k28t280，x1x2，y1y2k(x1x2)2t，x1x2，直线 OP 方程为 yx 且 OP 平分线段 AB，解得 k|AB|，又点 P 到直线 l 的距离 dh，SPAB |AB|h设 f(t)(t)2(42t2)2t44t38t8，由直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点可得b0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为 1.()求椭圆C的方程；()设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值【答案】()()见解析.【解析】试题分析：（）根据离心率为，即，OAB 的面积为 1，即，椭圆中
15、列方程组进行求解；（）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.试题解析：（）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（）由（）知，设，则.当时，直线的方程为.13令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，所以.综上，为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.视频21. 已知椭圆C： (ab0)的右焦点为F(1,0)，短轴的一个端点B到点F的距离等于焦距.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得BFM与BF
