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1、第一节 直线的斜率与直线方程完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！三年3考 高考指数:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.掌握确定直线位置的几何要素；3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.1.直线的斜率、直线方程是高考的重点；2.本部分内容常与圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程思想和数形结合思想；3.多以选择题和
2、填空题的形式出现，属于中低档题目.1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直线l与x轴_；一个基准：取_作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向.当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为_.相交x轴0(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90,则斜率k=_;计算公式：若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴，则k=_.tan【即时应用】(1)过点M(-2,m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_；(2)直线 的倾斜角为_.【解析】(1)由斜率公式得： ，解得m=1.(2) 的斜率即倾斜角的正切值tan=又0，= .答案：(1)1 (2)2.直
3、线方程的几种形式 斜率k与点（x1,y1）斜率k与直线 在y轴上的截 距b两点（x1,y1） ，（x2,y2）直线在x轴、 y轴上的截距 分别为a、b名称条件方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式一般式不含直线x=x1不含垂直于x轴的直线不含直线x=x1（x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线平面直角坐标 系内的直线都 适用y-y1=k(x-x1)y=kx+bAx+By+C=0(A2+B20)【即时应用】(1)思考：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能否写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？提示：能写成(x2-x1)(y-y1
4、)=(y2-y1)(x-x1).当x1x2且y1y2时，直线方程为： 可化为上式；当x1x2，y1=y2时，直线方程为：y=y1也适合上式；当y1y2，x1=x2时，直线方程为：x=x1也适合上式；综上可知：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).(2)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 ，则直线l的方程为_.【解析】由直线的点斜式方程得，直线l的方程为：y-5= (x+2)，即3x+4y-14=0.答案：3x+4y-14=0(3)经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为_.【解析】经过两点M(1,-2)，
5、N(-3,4)的直线方程为即3x+2y+1=0.答案：3x+2y+1=0 例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！直线的倾斜角与斜率【方法点睛】1.斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值,一般根据k=tan求斜率；(2)公式法：若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根据斜率公式 求斜率.2.直线的斜率k与倾斜
6、角之间的关系0k0不存在k00909090 180k 0【提醒】对于直线的倾斜角，斜率k=tan(90)，若已知其一的范围可求另一个的范围. 【例1】(1)已知两点A(m,n)，B(n,m)(mn)，则直线AB的倾斜角是_.(2)已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_.(3)(2012西安模拟)直线y=tanx+1( )的倾斜角的取值范围是_.【解题指南】(1)先由公式法求出斜率，再求倾斜角；(2)直线l的斜率的取值范围，可由直线PA、PB的斜率确定；也可先写出直线l的方程，再由点A、B在直线l的异侧(或一点在l上)求解
7、;(3)直线倾斜角与直线的斜率有关，可先求直线斜率的取值范围，再求直线倾斜角的取值范围.【规范解答】(1)因为A(m,n)，B(n,m)(mn)，所以直线AB的斜率 所以直线的倾斜角为 ；答案：(2)方法一：因为A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1)，所以 如图所示：因此，直线l斜率k的取值范围为k-4或方法二：依题设知，直线l的方程为：y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0,若直线l与线段AB有交点，则A、B两点在直线l的异侧(或A、B之一在l上)故(2k+4-k)(-3k+3-k)0，即(k+4)(4k-3)0,解得：k-4或k答案：k-4或k(3)直线的斜率k=tan,设直
8、线的倾斜角为， ,k .0,), .答案： 【互动探究】本例(3)中的取值范围改为“ ”，结果如何？【解析】由直线的倾斜角和斜率的关系知，就是直线的倾斜角，直线的倾斜角的取值范围为 .【反思感悟】1.直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解题线索，如本例第(3)题由直线斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围，但一定要注意倾斜角的取值范围为0，)；2.已知倾斜角的取值范围，求斜率的取值范围，实质上是求k=tan的值域问题；已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范围，实质上是在0， )( ，)上解关于正切函数的三角不等式问题.由于函数k=tan在0， )( ，)上不单调，故一般借助函数图像来解决此类问
9、题.【变式备选】已知两点A(-1,2)，B(m,3)，且求直线AB的倾斜角的取值范围.【解析】当直线AB的斜率不存在时，m=-1，此时倾斜角为当直线AB的斜率存在时，m-1，由题意知直线AB的斜率又直线AB的倾斜角的取值范围为综上所述，直线AB的倾斜角的取值范围为直线的方程及应用【方法点睛】直线方程综合问题的类型及解法(1) 与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x、y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决. 【例2】已
10、知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,(1)若ABO的面积为12，求直线l的方程；(2)求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.【解题指南】先设出AB所在的直线方程，再求A、B两点的坐标，(1)根据ABO的面积为12列方程组求解；(2)写出表示ABO的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值.【规范解答】(1)方法一：设直线l的方程为 (a0,b0),A(a,0),B(0,b), 解得所求直线l的方程为 即2x+3y-12=0.方法二：设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a=3- ,令x=0,得直线l在y轴
11、的正半轴上的截距b=2-3k,(3- )(2-3k)=24,解得k=- .所求直线l的方程为y-2=- (x-3),即2x+3y-12=0.(2)方法一：由题可设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为l过点P(3,2),且a3,b2.从而故有SABO=当且仅当即a=6时,(SABO)min=12,此时此时直线l的方程为即2x+3y-12=0.方法二：由题可设直线方程为 (a0,b0),代入P(3,2),得得ab24,从而SABO= ab12,当且仅当 时,等号成立,SABO取最小值12，此时此时直线l的方程为2x+3y-12=0.方法三：依题意知,直线l的斜率存在.设直线l
12、的方程为y-2=k(x-3)(k0),则有A(3- ,0),B(0,2-3k),SABO= (2-3k)(3- )= 12+(-9k)+ = (12+12)=12,当且仅当 即 时,等号成立，SABO取最小值12.此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.方法四：如图所示,过P分别作x轴,y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.设=PAM=BPN,显然(0, )，则SABO=SPBN+S四边形NPMO+SPMA= 33tan+6+ 22=当且仅当即tan= 时,SABO取最小值12,此时直线l的斜率为- ,其方程为2x+3y-12=0.【反思感悟】1.此题是直线方程的综合应用，解题时，可灵活运
13、用直线方程的各种形式，以便简化运算.2.以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决. 【变式训练】已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.【解析】(1)直线l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,令 解得 无论k取何值，直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为 在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k0;当k
14、=0时，直线为y=1，符合题意，故k0.(3)由l的方程，得 B(0,1+2k).依题意得 解得k0.S= |OA|OB|= | |1+2k| (22+4)=4,“=”成立的条件是k0且4k= ,即k=Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。【创新探究】与直线方程有关的创新命题【典例】(2011安徽高考)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号).存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线【解题指南】存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点
