《2019版高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的有关概念讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的有关概念讲义（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、16.16.1 数列的有关概念数列的有关概念命题探究考纲解读五年高考统计考点内容解读要求20132014201520162017常考题型 预测热度1.数列的概念及 通项公式1.求通项公式 2.数列性质A填空题 解答题2.数列的前 n 项 和及性质数列前 n 项和的求法 及简单运用A填空题 解答题分析解读 本节知识一般和数列其他内容综合在一起出题,考查数列的综合运用,作为数列的基础知识,需要 熟练掌握.五年高考考点一 数列的概念及通项公式 1.(2015 课标,16,5 分)设 Sn是数列an的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 答案 -1 2.(2013 安徽
2、理,14,5 分)如图,互不相同的点 A1,A2,An,和 B1,B2,Bn,分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等.设 OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是 .答案 an=3 - 23.(2015 重庆,22,12 分)在数列an中,a1=3,an+1an+an+1+=0(nN+).2(1)若 =0,=-2,求数列an的通项公式;(2)若 =(k0N+,k02),=-1,证明:2+0,归纳可得 3=a1a2anan+10.因为 an+1=an-+,2+1 02-120+120+1 01 01 010+ 1所以
3、对 n=1,2,k0求和得=a1+(a2-a1)+(-) 0+ 1 0+ 1 0=a1-k0+1 01 0(101+ 1+102+ 1+ +10+ 1)2+=2+.1 0(130+ 1+130+ 1+ +130+ 1 0个)130+ 1另一方面,由上已证的不等式知 a1a22,得 0 0+ 1=a1-k0+ 0+ 11 01 0(101+ 1+102+ 1+ +10 0+ 1)1 000.11 000|1 -12- 1|11 000因为 29=5120,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上,数列an的通项 an
4、=2n.(2)证明:由于 an=2n,bn=, + 1( + 2)22则 bn=-. + 142( + 2)2116121( + 2)2Tn=1-+-+-+-+-1161321221421321521( - 1)21( + 1)2121( + 2)2=0,nN*. (1)若 a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线 x2-=1 的离心率为 en,且 e2=2,求 + + .2221222解析 (1)Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到 an+2=qan+1,n1. 又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1, 故 an+1=qan对所有 n
5、1 都成立. 所以,数列an是首项为 1,公比为 q 的等比数列. 从而 an=qn-1. 由 a2,a3,a2+a3成等差数列,可得 2a3=a2+a2+a3, 所以 a3=2a2,故 q=2.所以 an=2n-1(nN*). (2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线 x2-=1 的离心率 en=.221 + 21 + 2( - 1)由 e2=2 解得 q=.1 + 23所以, + +21222=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1) =n+1+q2+q2(n-1)6=n+2- 12- 1=n+ (3n-1).127.(2015 课标,17,12 分)Sn为数列an的前 n 项和
6、.已知 an0,+2an=4Sn+3.2(1)求an的通项公式;(2)设 bn=,求数列bn的前 n 项和.1 + 1解析 (1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.22 + 1可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2 + 122(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).2 + 12由 an0,可得 an+1-an=2.又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.21所以an是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.(6 分) (2)由 an=2n+1 可知bn=.1 + 11(2 + 1)(2 + 3
7、)12(12 + 1-12 + 3) 设数列bn的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+bn=12(13-15)+(15-17)+ +(12 + 1-12 + 3)=.(12 分)3(2 + 3)教师用书专用(813) 8.(2016 北京,15,13 分)已知an是等差数列,bn是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列cn的前 n 项和.解析 (1)等比数列bn的公比 q= =3,(1 分)3293所以 b1=1,b4=b3q=27.(3 分)2 设等差数列an的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a1
8、4=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2.(5 分) 所以 an=2n-1(nN*).(6 分) (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1.(8 分) 从而数列cn的前 n 项和 Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1=+(1 + 2 - 1)21 - 31 - 37=n2+.(13 分)3- 129.(2015 山东,18,12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn=3n+3. (1)求an的通项公式; (2)若数列bn满足 anbn=log3an,求bn的前 n 项和 Tn. 解析 (1)因为 2Sn=3
9、n+3,所以 2a1=3+3,故 a1=3, 当 n1 时,2Sn-1=3n-1+3, 此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即 an=3n-1,所以 an=3, = 1, 3 - 1, 1.?(2)因为 anbn=log3an,所以 b1= ,13 当 n1 时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以 T1=b1= ;13 当 n1 时,Tn=b1+b2+b3+bn= +13-1+23-2+(n-1)31-n,13 所以 3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n, 两式相减,得2Tn= +(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n
10、23= +-(n-1)31-n=-,231 - 31 - 1 - 3- 11366 + 32 3所以 Tn=-.13126 + 34 3 经检验,n=1 时也适合.综上可得 Tn=-.13126 + 34 310.(2015 浙江,20,15 分)已知数列an满足 a1= 且 an+1=an-(nN*).122(1)证明:12(nN*); + 1(2)设数列的前 n 项和为 Sn,证明:(nN*).212( + 2)12( + 1)证明 (1)由题意得 an+1-an=-0,即 an+1an,2故 an .12 由 an=(1-an-1)an-1得 an=(1-an-1)(1-an-2)(1-
11、a1)a10.由 00 成立的最大正整数 n 的值为 .答案 94.(2017 江苏宿豫中学模拟)数列an满足 an+1=,a8=2,则 a1= . 11 - 答案 125.(2016 江苏苏州一模,19)已知数列an满足:a1= ,an+1-an=p3n-1-nq,nN*,p,qR.12 (1)若 q=0,且数列an为等比数列,求 p 的值; (2)若 p=1,且 a4为数列an的最小项,求 q 的取值范围. 解析 (1)q=0,an+1-an=p3n-1,a2=a1+p= +p,a3=a2+3p= +4p,1212由数列an为等比数列,得=,解得 p=0 或 p=1.(12+ )212(1
12、2+ 4)当 p=0 时,an+1=an,an= ,符合题意;12 当 p=1 时,an+1-an=3n-1,当 n2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)= +(1+3+3n-2)= += 3n-1,12121 - 3 - 11 - 312又a1= = 31-1,an= 3n-1.=3.符合题意.121212 + 1p=0 或 p=1. (2)若 p=1,则 an+1-an=3n-1-nq,当 n2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)= +(1+3+3n-2)-1+2+(n-1)q= 3n-1-n(n-1)q,又1212a1= =
13、 31-1-1(1-1)q,an= 3n-1-n(n-1)q.121212 数列an的最小项为 a4,对任意的 nN*,有 3n-1-n(n-1)qa4= (27-12q)恒成立,1212 即 3n-1-27(n2-n-12)q 对任意的 nN*恒成立.当 n=1 时,有-26-12q,q;136当 n=2 时,有-24-10q,q;125 当 n=3 时,有-18-6q,q3; 当 n=4 时,有 00,qR;当 n5 时,n2-n-120,所以有 q恒成立,3 - 1- 272- - 12令 cn=(n5,nN*),3 - 1- 272- - 1211则 cn+1-cn=0,2(2- 2
14、- 12)3 - 1+ 54(2- 16)(2- 9)即数列cn为递增数列,qc5=.274综上所述,3q.274考点二 数列的前 n 项和及性质6.(2018 江苏无锡期中)在等差数列an中,已知 a1+a3=0,a2+a4=-2,则数列的前 10 项和是 . 2 - 1答案 52567.(2016 江苏泰州一模,12)f(x)是 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=2x+ln ,记 an=f(n-5),则数列an的前 8 项和4为 . 答案 -16B 组 20162018 年模拟提升题组 (满分:40 分 时间:20 分钟) 一、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(苏教必 5,二,1,变式)数列an满足对任意的 nN+,均有 an+an+1+an+2为定值.若 a7=2,a9=3,a98=4,则数列an 的前 100 项的和 S100= . 答案 2992.(2017 江苏启东中学月考,
