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1、1第四章第四章 解三角形解三角形命题探究(1)因为 cos B= ,00).sinsinsin则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有coscossin+=,变形可得cossincossinsinsinsin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).3在ABC 中,由 A+B+C=,得 sin(A+B)=sin(-C)=sin C, 所以 sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2= bc,65根据余弦定理的推论,有 cos A= .2+ 2- 2235所以 sin A= .1 - 245 由(1),si
2、n Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以 sin B= cos B+ sin B,454535故 tan B=4.sincos教师用书专用(1118) 11.(2017 课标全国文,16,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,则 B= .答案 60 12.(2017 课标全国文改编,11,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则 C= . 2答案 613.(2017 山东理改编,9,5 分)在ABC
3、中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 . a=2b;b=2a;A=2B;B=2A. 答案 14.(2014 天津,12,5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin C,则 cos A14的值为 . 答案 -14 15.(2014 课标,16,5 分)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b) sin C,则ABC
4、面积的最大值为 . 答案 316.(2013 浙江理,16,4 分)在ABC 中,C=90,M 是 BC 的中点.若 sinBAM= ,则 sinBAC= . 13答案 6317.(2014 湖南,18,12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=.7(1)求 cosCAD 的值;(2)若 cosBAD=-,sinCBA=,求 BC 的长.714216解析 (1)在ADC 中,由余弦定理,得4cosCAD=.2+ 2- 227 + 1 - 42 72 77(2)设BAC=,则 =BAD-CAD.因为 cosCAD=,cosBAD=-,2 77714所以 sinCAD=
5、,1 - 21 -(2 77)2217sinBAD=.1 - 21 -(-714)23 2114于是 sin =sin(BAD-CAD) =sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.3 21142 77(-714)21732在ABC 中,由正弦定理,得=,sinsin故 BC=3.sinsin7 3221618.(2014 辽宁,17,12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ac.已知=2,cos B= ,b=3.求:13 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.解析 (1)由=2 得 cacos B=2,又 cos B= ,所以
6、ac=6.13 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 又 b=3,所以 a2+c2=9+22=13.解得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. = 6, 2+ 2= 13?因为 ac,所以 a=3,c=2.(2)在ABC 中,sin B=,1 - 21 -(13)22 23由正弦定理,得 sin C= sin B= =. 232 234 29 因为 a=bc,所以 C 为锐角.因此 cos C= .1 - 21 -(4 29)27 9于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= +=.13792 234 2923275考点二 解三角形及其应用 1.(20
7、17 浙江,14,5 分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连结 CD,则BDC 的面积是 ,cosBDC= . 答案 ;1521042.(2016 课标全国,15,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C=,a=1,则 b= .45513答案 2113 3.(2015 湖北,13,5 分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏 北 30的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75的方向上,仰角为 30,则此山的高度 CD=
8、m. 答案 10064.(2017 江苏,18,16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32 cm,容 器的底面对角线 AC 的长为 10 cm,容器的两底面对角线 EG,E1G1的长分别为 14 cm 和 62 cm.分别在容器7和容器中注入水,水深均为 12 cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将 l 放在容器中,l 的一端置于点 A 处,另一端置于侧棱 CC1上,求 l 没入水中部分的长度; (2)将 l 放在容器中,l 的一端置于点 E 处,另一端置于侧棱 GG1上,求 l 没入水中部分的长度.解析
9、 本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用 数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)由正棱柱的定义,CC1平面 ABCD,所以平面 A1ACC1平面 ABCD,CC1AC. 记玻璃棒的另一端落在 CC1上点 M 处. 因为 AC=10,AM=40,7所以 MC=30,从而 sinMAC= .402- (10 7)234 记 AM 与水面的交点为 P1,过 P1作 P1Q1AC,Q1为垂足,则 P1Q1平面 ABCD,故 P1Q1=12,从而 AP1=16.11sin 答:玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16 cm. (如果将“没
10、入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为 24 cm)6(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面 EFGH,所以平面 E1EGG1平面 EFGH,O1OEG. 同理,平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1,O1OE1G1. 记玻璃棒的另一端落在 GG1上点 N 处. 过 G 作 GKE1G1,K 为垂足,则 GK=OO1=32.因为 EG=14,E1G1=62,所以 KG1=24,从而 GG1=40.62 - 14221+ 2242+ 322设EGG1=,ENG=,则 sin =sin=cosKGG1= .(2+ 1)45因为 0,所以 c=3.故ABC 的面
11、积为 bcsin A=.123 32解法二:由正弦定理,得=,7sin32sin从而 sin B=,217又由 ab,知 AB,所以 cos B=.2 77故 sin C=sin(A+B)=sin( +3)12=sin Bcos +cos Bsin =.333 2114所以ABC 的面积为 absin C=.123 32 14.(2015 湖南,17,12 分)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btan A,且 B 为钝角.(1)证明:B-A= ;2(2)求 sin A+sin C 的取值范围.解析 (1)证明:由 a=btan A 及正弦定理,得= =,所以 sin
12、 B=cos A,即 sin B=sin.sincos sinsin(2+ )又 B 为钝角,因此 +A,故 B= +A,即 B-A= .2(2,)22(2)由(1)知,C=-(A+B)=-= -2A0,(2 +2)2所以 A.(0,4)于是 sin A+sin C=sin A+sin(2- 2)=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+ .(sin -14)298因为 00,sin C0,所以 cos C= ,12又 C(0,),所以 C= .3(2)因为 C= ,所以 B,所以 B- ,3(0,23)3(-3,3)又 sin= ,所以 cos= .( -3)35(
13、-3)1 - sin2( -3)45又 A+B=,即 A=-B,2323所以 sin A=sin=sin(23- )3-( -3)=sin cos-cos sin3( -3)3( -3)= - =.324512354 3 - 310C 组 20162018 年模拟方法题组方法 1 三角形中的几何计算 1.(2016 江苏清江中学周练,17)如图,ABC 为一直角三角形草坪,其中C=90,BC=2 米,AB=4 米,为了重建草 坪,设计师准备了两套方案: 方案一:扩大为一个直角三角形,其中斜边 DE 过点 B,且与 AC 平行,DF 过点 A,EF 过点 C. 方案二:扩大为一个等边三角形,其中
14、 DE 过点 B,DF 过点 A,EF 过点 C. (1)求方案一中三角形 DEF 的面积 S1的最小值; (2)求方案二中三角形 DEF 的面积 S2的最大值.解析 (1)设ACF=,(0,2)则 AF=2sin ,FC=2cos ,33因为 DEAC,所以E=,CBE=ACB=90,且=,所以 EC=,=,解得 AD=. 2sin2 3sin2 3cos2sin2cos所以 S1=3+4,12(2 3sin +2cos)(2 3cos +2sin)(sin2 +43sin2)3所以当且仅当 sin 2=1,即 = 时,S1取最小值 7+4.43(2)在三角形 DBA 中,设DBA=,则=,(0,23)sin(23- )sin318解得 DB=sin,83(23- )在三角形 CBE 中,易知BCE=,则由=,解得 EB=sin ,sinsin343则等边三角形 DEF 的边长为sin+sin =(2sin +cos ),83(23- )43433所以边长的最大值为,所以面积 S2的最大值为=.4 7334(4 73)228 33方法 2 利用正、余弦定理判
