《2019版高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义、导数的运算讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义、导数的运算讲义（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、19.19.1 导数的概念及几何意义、导数的运算导数的概念及几何意义、导数的运算命题探究(1)由 PO1=2 知 O1O=4PO1=8. 因为 A1B1=AB=6, 所以正四棱锥 P-A1B1C1D1的体积V锥= A1PO1= 622=24(m3);132113 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积 V柱=AB2O1O=628=288(m3). 所以仓库的容积 V=V锥+V柱=24+288=312(m3). (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m),则 00,V 是单调增函数;3当 20)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 .1 答案 (1,1)5.(2014 江苏,11,5
2、 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 . 答案 -3 教师用书专用(69) 6.(2013 广东理,10,5 分)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= . 答案 -1 7.(2013 重庆理,17,13 分)设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 aR,曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与 y 轴相交 于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.解析 (1)因
3、f(x)=a(x-5)2+6ln x,故 f (x)=2a(x-5)+ .6 令 x=1,得 f(1)=16a, f (1)=6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a= .12(2)由(1)知, f(x)= (x-5)2+6ln x(x0), f (x)=x-5+ =.126 ( - 2)( - 3) 3令 f (x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 03 时, f (x)0,故 f(x)在(0,2),(3,+)上为增函数;当 22;( +33)(3)设实数 k 使得 f
4、(x)k对 x(0,1)恒成立,求 k 的最大值.( +33)解析 (1)因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以 f (x)=+, f (0)=2.11 + 11 - 又因为 f(0)=0,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=2x.(2)证明:令 g(x)=f(x)-2,( +33)则 g(x)=f (x)-2(1+x2)=.241 - 2因为 g(x)0(0g(0)=0,x(0,1),即当 x(0,1)时, f(x)2.( +33)(3)由(2)知,当 k2 时, f(x)k对 x(0,1)恒成立.( +33)当 k2 时,令 h(x)=f(x)-k,(
5、 +33)则 h(x)=f (x)-k(1+x2)=.4- ( - 2)1 - 2所以当 02 时, f(x)k并非对 x(0,1)恒成立.( +33)综上可知,k 的最大值为 2.49.(2013 北京理,18,13 分)设 L 为曲线 C:y=在点(1,0)处的切线.ln(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.解析 (1)设 f(x)=,则 f (x)=.ln1 - ln2 所以 f (1)=1.所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明:令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)0(x0,x
6、1).g(x)满足 g(1) =0,且g(x)=1-f (x)=.2- 1 + ln2当 01 时,x2-10,ln x0,所以 g(x)0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)g(1)=0(x0,x1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方.考点二 导数的运算 1.(2016 天津,10,5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex, f (x)为 f(x)的导函数,则 f (0)的值为 . 答案 3 2.(2014 福建,20,14 分)已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜 率为-1. (1)求 a 的值
7、及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x0 时,x2ln 2 时, f (x)0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值, 且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. (2)证明:令 g(x)=ex-x2,则 g(x)=ex-2x. 由(1)得 g(x)=f(x)f(ln 2)0, 故 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=10, 因此,当 x0 时,g(x)g(0)0,即 x20 时,x20 时,x21,要使不等式 x2kx2成立.1 而要使 exkx2成立,则只要 xln(kx2),只要 x2ln x+ln k
8、成立.令 h(x)=x-2ln x-ln k,则 h(x)=1- =,2 - 2所以当 x2 时,h(x)0,h(x)在(2,+)内单调递增. 取 x0=16k16,所以 h(x)在(x0,+)内单调递增, 又 h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k, 易知 kln k,kln 2,5k0,所以 h(x0)0.即存在 x0=,当 x(x0,+)时,恒有 x20 时,exx2,所以 ex=,22(2)2( 2)2当 xx0时,ex= x2,(2)2( 2)24 (2)21 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x(x0,+)时,恒有
9、x20 时,x2x0时,有 x20),2 因而 f(1)=1, f (1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1, f(1)处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.(2)由 f (x)=1- =,x0 知: - 当 a0 时, f (x)0,函数 f(x)为(0,+)上的增函数,函数 f(x)无极值; 当 a0 时,由 f (x)=0,解得 x=a. 又当 x(0,a)时, f (x)0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值; 当 a0 时,函数 f(x)在 x=a 处取
10、得极小值 a-aln a,无极大值.三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点一 导数的概念及几何意义 1.(2018 江苏常熟期中调研)已知曲线 f(x)=ax3+ln x 在(1,f(1)处的切线的斜率为 2,则实数 a 的值是 .答案 13 2.(2018 江苏东台安丰高级中学月考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与函数 f(x)=2x2+a2(x0)和 g(x) =2x3+a2(x0)的图象均相切(其中 a 为常数),切点分别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2),则 x1+x2的值为 . 6答案 5627 3.(2018 江苏扬州中学月考)若曲线 y=kx+ln
11、x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= . 答案 -1 4.(2018 江苏淮安宿迁高三第一学期期中)已知函数 f(x)=x3.设曲线 y=f(x)在点 P(x1,f(x1)处的切线与该曲线交于另一点 Q(x2,f(x2),记 f (x)为函数 f(x)的导数,则的值为 . (1) (2)答案 145.(2018 江苏常熟高三期中)已知函数 f(x)=若直线 y=ax 与 y=f(x)的图象交于三个不同的点ln, 0, 2 + 1, 0,?A(m,f(m),B(n,f(n),C(t,f(t)(其中 m0)上一点 P(x0,y0)处的切线分别与 x 轴,y 轴交于点 A、B,O 是坐
12、标原1 点,若OAB 的面积为 ,则 x0= . 13答案 5C 组 20162018 年模拟方法题组方法 1 求函数的导数的方法 1.求下列函数的导数:(1)y=x2sin x;(2)y=;(3)y=.+ 1- 1 + cos + sin解析 (1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2)y=.(+ 1)(- 1) - (+ 1)(- 1)(- 1)2- 2(- 1)2(3)y=( + cos)( + sin) - ( + cos)( + sin)( + sin)2=(1 - sin)( + sin) - ( + cos)(1 + cos)( + s
13、in)2=.- cos - sin + sin - cos - 1( + sin)2方法 2 利用导函数求曲线的切线方程82.已知函数 f(x)=,g(x)=aln x,aR.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求该切线方程.解析 f (x)=,g(x)= (x0),12 设两曲线交点的横坐标为 x,则由已知得解得 a= ,x=e2,两条曲线交点的坐标为(e2,e), = ln, 12 = ,?2切线的斜率 k=f (e2)=,切线的方程为 y-e=(x-e2),即 x-2ey+e2=0.1212D 组 20162018 年模拟突破题组(2016 江苏扬州中学
14、质检,19)对于函数 f(x),g(x),如果它们的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则称 函数 f(x)和 g(x)在点 P 处相切,称点 P 为这两个函数的切点.设函数 f(x)=ax2-bx(a0),g(x)=ln x. (1)当 a=-1,b=0 时, 判断函数 f(x)和 g(x)是否相切,并说明理由; (2)已知 a=b,a0,且函数 f(x)和 g(x)相切,求切点 P 的坐标. 解析 (1)当 a=-1,b=0 时,函数 f(x)和 g(x)不相切.理由如下:由条件知 f(x)=-x2,由 g(x)=ln x,得 x0,因为 f (x)=-2x,g(x)= ,所以当 x0 时,f (x)=-1 2x0,所以对于任意的 x0,f (x)g(x).1 故当 a=-1,b=0 时,函数 f(x)和 g(x)不相切.(2)若 a=b,则 f (x)=2ax-a,由题意得 g(x)= ,设切点坐标为(s,t),其中 s0,由题意,得 as2-as=ln s,2as-1 a= ,由得 a=,代入得=ln s(*).因为 a=0,且 s0,所以 s .1 1(2 - 1) - 12 - 11(2 - 1)12设函数 F(x)=-ln x,x, - 12 - 1(12, + )则 F(x)=.- (4 - 1)( - 1)(2 - 1)2令 F(x)=0,解得
