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1、1周周测周周测 1414 概率统计、复数、算法初步、推理与证明综合测试概率统计、复数、算法初步、推理与证明综合测试一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1(2017新课标全国卷，2)设复数z满足(1i)z2i，则|z|( )A. B.1 222 C. D22 答案：C解析：方法一：由(1i)z2i 得z1i，2i 1i |z|.2 故选 C. 方法二： 2i(1i)2， 由(1i)z2i(1i)2，得z1i， |z|.2 故选 C. 2(2018安徽马鞍山二中段考)已知复数z|(i)i|i5(i 为虚数单位)，则复3
2、 数z的共轭复数为( ) A2i B2i C4i D4i 答案：B 解析：z|(i)i|i5|1i|i2i，z的共轭复数为 2i.33 3(2018上海二模)用反证法证明命题“已知a，bN N*，如果ab可被 5 整除，那么 a，b中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为( ) Aa，b都能被 5 整除 Ba，b都不能被 5 整除 Ca，b不都能被 5 整除 Da不能被 5 整除 答案：B 解析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定 成立进行推证 “a，b中至少有一个能被 5 整除”的否定是“a，b都不能被 5 整除” 故选 B. 4(2018怀化二模)某
3、校高三(1)班共有 48 人，学号依次为 1,2,3，48，现用系 统抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，已知学号为 3,11,19,35,43 的同学在样本中，则 还有一个同学的学号应为( ) A27 B26 C25 D24 答案：A 解析：根据系统抽样的规则“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两 个学号之间的差为 1138，所以在 19 与 35 之间还有 27，故选 A. 5如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生 产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为0.7x0.35，则下列结论错误的是( )yx345
4、6 y2.5t44.5 A.回归直线一定过点(4.5,3.5) B产品的生产能耗与产量成正相关 Ct的取值必定是 3.15 DA产品每多生产 1 吨，相应的生产能耗约增加 0.7 吨2答案：C解析：由题意知， (3456)4.5，则 0.74.50.353.5，即回x1 418 4y 归直线一定过点(4.5,3.5)，故 A 正确；0.70，产品的生产能耗与产量成正相关，故B 正确； (2.5t44.5)3.5，t3，故 C 错误；A产品每多生产 1 吨，相y1 4 应的生产能耗约增加 0.7 吨，故 D 正确故选 C.6(2018洛阳市第一次统一考试)若0，则 sin() 成立的概率为( )
5、 31 2A. B.1 31 2C. D12 3 答案：B解析：依题意，当0，时，由 sin() 得 3 34 3 31 26，输出S3.结束循环 故选 B. 10一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体 ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )A. B.3 42 3C. D.1 31 2 答案：D解析：因为VFAMCD SAMCDDFa3，VADFBCEa3，所以它飞入几何体FAMCD内1 31 41 2的概率为 .1 4a3 1 2a31 2411(2018湖北八校联考二模)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿 子他出了一个原理：
6、“幂势既同，则积不容异 ”这里的“幂”指水平截面的面积， “势” 指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等设由椭圆1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，y2 a2x2 b2 得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的 方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于( )A. a2b B. a2b2 34 3C. b2a D. b2a2 34 3 答案：D 解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构成两个底面半径为b，高为a的圆柱， 然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的
7、圆锥，根据祖暅原理得出的椭球体的体积V2(V圆柱V圆锥)2 b2a.( b2 a13 b2a)4 3 12汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( )A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省 油 答案：D 解析：“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油， 最多行驶
8、的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲 燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误；C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，甲车 每消耗 1 升汽油行驶的里程为 10 km，行驶 80 km，消耗 8 升汽油，C 错误；D 中某城市机 动车最高限速 80 千米/小时由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用 乙车更省油，选 D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在相应题号后的横线 上 13(2018云南省高三 11 校跨区调研考试)已知复数z满足z(1i)2i，则z的模 为_ 答案：25解析：依题意得zi
9、(1i)1i，|z|1i|2i 1i2i1i 1i1i .12122 14(2018湖北荆州中学质检)用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示，按照规律，第n个 “金鱼”图需要火柴棒的根数是_答案：6n2 解析：由图形可知，第 1 个“金鱼”图需火柴棒 8 根，第 2 个“金鱼”图需火柴棒比 第 1 个多 6 根，第 3 个“金鱼”图需火柴棒比第 2 个多 6 根，第n个“金鱼”图需要火 柴棒的根数是 6n2.15(2018济南一模)2017 年 2 月 20 日，摩拜单车在某市推出“做文明骑士，周一 摩拜单车免费骑”活动，为了解单车的使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了 半小时内被骑走的单车数
10、量，绘制了如图所示的茎叶图，则该数据的方差为_ 答案：4 解析：由茎叶图得，该组数据分别是 87,89,90,91,93，平均数是 90，故方差s2 (91019)4.1 5 16(2018宿州模拟)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数 列的概率为_答案：1 12 解析：基本事件总数为 666，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件 有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)， (3,3,3)，(2,
11、4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共 18 个，所求事件的概率P.18 6 6 61 12 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 17(本小题满分 10 分)已知复数z()2016(1i)2(其中 i 为虚数单位)，若复数z的共轭复数为，且1i 1izz143i.z(1)求复数z1； (2)若z1是关于x的方程x2pxq0 的一个根，求实数p，q的值，并求出方程 x2pxq0 的另一个复数根解析：(1)因为z()2016(1i)2i20162i1
12、2i，1i 1i所以12i，所以z12i.5 分z43i 12i (2)由题意知(2i)2p(2i)q0，化简得(32pq)(p4)i0，所以 32pq0 且p40，解得p4，q5， 所以方程为x24x50，即(x2)21i2，解得另一个复数根为x2i.10 分 18(本小题满分 12 分)6在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数 列，求证：B90. 证明：假设B90不成立，即B90，从而B是ABC的最大角，b是 ABC的最大边，即ba，bc. ， ，相加得 ，1 a1 b1 c1 b1 a1 c1 b1 b2 b这与 矛盾，1 a1 c2 b 故B90不
13、成立因此B90. 19(本小题满分 12 分) (2018广东茂名二模)2015 年 8 月 12 日天津港发生危化品重大爆炸事故，造成重大 人员和经济损失某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防 安全等级共分为四个等级(一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差)，该港口消防安 全等级的统计结果如下表所示： 等级一级二级三级四级 频率0.302mm0.10 现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有 20 家 (1)求m，n的值； (2)按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取 10 家，除去消防安全等 级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意
14、抽取 2 家，求抽取的这 2 家公司的消防安 全等级都是二级的概率 解析：(1)由 0.302mm0.101，解得m0.20，所以n100.20 m (2)由(1)知，利用分层抽样的方法从中抽取 10 家公司，消防安全等级为一级的有 3 家， 二级的有 4 家，三级的有 2 家，四级的有 1 家 记消防安全等级为二级的 4 家公司分别为A，B，C，D，三级的 2 家分司分别为a，b， 从中抽取 2 家公司，不同的结果为 Aa，Ab，AB，AC，AD，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共 15 种， 记“抽取的 2 家分司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的
15、结果有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 种，所以P(M) .6 152 5 20(本小题满分 12 分) (2017合肥质量检测)某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志 愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下： 有效无效合计 使用方案A组96120 使用方案B组72 合计32 (1)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率； (2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？附：K2，其中nabcdnadbc2 abcdacbd P(K2k0)0.050.0100.001 k03.8416.63510.828 解：(1)列联表如下： 有效无效合计 使用方案A组9624120 使用方案B组728807合
