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1、黧l f 中 小 学数学 中 学 版I l_l 解 题 研 究 高中 i L - r , 1 1, 大学附属中学( 7 1 0 0 7 2 ) 刘筱 明 著名数学教育家G 波利亚曾说： “ 一个专心备课 的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题 目， 去 帮助学生发掘问题的各个方面， 使得通过这道题 ， 就 好像一道门， 把学生引入一个完整的理论领域 ”一句 话道 出了老师精选题 目， 对 教学 是多 么的 重要 而一 道立意高远 、 内涵丰富的高考试题， 蕴含着丰富的思 想方法， 具有较好的研究性、 探索性和延展性 其解法 是多样的， 研究它的目的不仅仅是为了掌握解题的操 作 ， 多找几种解
2、法， 还要在多角度的思考过程中， 理解 真实的数学本质， 领悟深层的数学联 系， 掌握丰富的 数学方法， 学习朴素的数学原理 ， 使学生的数学能力 和思维品质向更深和更高层次发展 同时， 充分挖掘 和拓展高考试题的教育功能， 体现和展示高考试题的 教学价值， 这对打造高效课堂， 提高教学质量很有裨 益 基于此， 本文将介绍笔者在研习 2 0 1 2年高考数学 全国新课标卷理科 1 6题 的一些感悟 一 、试题 与赏析 题目1 ( 2 0 1 2年高考数学全国新课标卷理科 1 6 题) 数列 满足 8 +( 一1 ) 口 =2 n一1 ， 则 的前 6 0项 和为一 此题短小 精悍 ， 构 思新
3、颖 ， 但 不 易求 出数列 的通 项 ， 也很难转化 为熟悉 的可求 和类 型 递推关系 n + ( 一1 ) n ：2 n一1中镶嵌 了符号 因子 ( 一1 ) ， 增大 了 思维的难度 要弄清数列各项深层的规律， 对( 1 ) “ 的处理也正是此题的突破 口 初见此题 ， 笔者第一 想法 就是把它 与平时 的一 道 练 习题 ( 题 目2 )联系起来 ， 一起思考 ， 类 比研究 ， 从 中 体会解决此类 问题 的要领 4 6 题目2 数列 1 7, 的前 t 项和为S ， o 。=1 ， n ：= 2， + 2一 n = 1 + (一 1 ) ( n N ) ，贝 0 S 1 o 0
4、： 二 、 一类够 用的解 法 探究 1 ： 解决题目2的思路之一就是从具体人手， 分析数列各项是什么， 归纳出数列的变化规律后直接 求和 由r上 1=1 ， n 2：2 ， 0 + 2=0 +1+( 一1 ) ， 得 。 3 =1 ， 0 4=4 ， n 5=1 ， 6=6 ， 。 7=1 ， n 8=8 ， 一， 奇数 全部为 1 ， 偶数项等于其角码值 ， 所以， S 。 册 =5 01+ ( 2+ 4+6+ +1 0 0 )=2 6 0 0 能否按此法去研究题 目1呢? 显然在题 目1中不知道 n 。 ， 怎么求后面的项 呢? 是否求和与 o 。 的取值无关呢? 可以试探性的去研 究
5、解法 1 ： 令n i=1 ， 贝 0 n 2=2 ， n 3=1 ， 0 4=6 ， n ： 1 ， 。 =1 0 ， ， 猜测奇数项均为 1 ， 偶数项是以2为首 项4为公差的等差数列， 前 6 0项中奇数项共 3 0项， 其 和为3 0， 偶数项共3 0 项， 其和为3 02+ 4： 1 8 0 0 故 s 6 o=3 0+1 8 0 0=1 8 3 0 如果不从设出n 的值人手， 直接研究连续几项之 间的关系， 或者奇数项之和与偶数项之和的关系， 会 怎么样 呢? 解法2： 寻找规律 由0 +( 一1 ) 。 =2 n一1 ， 得 ，。 2一 。 l ： 2 11， 。， + 。z =
6、 2 2 一 ，： a一 j + a一 3 = 、2一,。 + 。 ： 6 0dn = 2 3 1 口I+口3 = 2， 口 2+ 口 4 = 8 ，a 6一a s =2 x51 ， 由+ = 2 6 一 t，： ： 二 二5 + 嘶 ： 2 一o 7 =2 x71 高中 解题研 究 。a 5+ 。7 2， a6+ a 8 24 ， 一 =2 x91 ， 由 n+a = 2 x lO 一 ， 。a9 +a。 l =一 2 , + q ， ： 蟹 a aI1=21 11 a9+ al l= 2， al 0+ “l 2 ： 40 由此规律可得 ， a 1+r 上 2 + +a 6 0=( l +a
7、 3 + +a 5 9 )+( a 2+“ 4+ +口 6 0 )= 1 52+1 58+ 堡 1 6：1 8 3 0 解法3 ： 分别取n=1 ， 3 ， 5 ， ， 5 9 ， 有a 2一 口 l =2 1 1， a 4一 a 3 = 2 3 一 I， ， a 6 0一a5 9 = 2 5 9 1， 相力 玎 得 ( “ 2+0 4十 十a 6 0 )一( a l +a 3+ +a 5 9 )= 由 a 2 一a 2 一 l=4 n一3 ， 口 2 + l+口 2 =4 n一1 ， 得 n 2 l+a 2 + I=2 ， 所 以， n l +a 3+ + 5 9= ( o 1 +a 3 )
8、 +( 5+n 7 )+ +( a 5 7+a 5 9 )= 1 52=3 0 aI+ a2+ + a 6 0 = 1 7 70 + 3 0 +30 = 1 8 30 作为一道高考试题中的小题， 能从具体的每一项 人手， 进行归纳猜想， 寻找解答方案 ， 也就足够了， 但 要弄清题目的本质规律， 领会题 目的内涵思想， 还需 要 做深入的思考 三 、 探 究不同的思路 探究2 ： ( 一1 ) 是以2为周期变化的， 可以考虑连 续两项之间的变化规律 ， 找到整体研究求和的方法 对 于题 目 2 ， a + 2一a =1+( 一1 ) ， 贝 4 a + 3一n + l=1 +( 一1 ) ，
9、两式相加直接将含( 一1 ) 的部分消掉了， 可得( 。 m +a )一( 0 +a )=2 ， 所以数列 口 + 是以a 。 +a ：3 为首项， 以2为公差的等差数列， 所 以 ， S I 【x l =( a l +a 2 )+( 口 3+a 4 )+ +( a 9 9+口 l o 0 ) ：5 0 x 3+ 2：2 6 0 0 基本 目标是将 含 ( 一1 ) 的部分消去， 将关系式化简， 却意外地收获了 一个等差数列， 求和变得水到渠成以同样的思路处 理题 目 1 ， 又会收到什么效果呢? 解法4 ： a +( 一1 ) a =2 n一1 ， n 2+( 一1 ) ” a =2 n+1
10、 中 小学 数学坤 学 版JI (一1 ) ，得 (一1 ) a + +(一1 ) n = ( 一1 ) “ ( 2 n一1 ) ， 即( 一1 ) a + 。+ = ( 一1 ) ( 2 n一 1 ) + 得 + 2+口 =( 一1 ) ( 2 n一1 )+2 n+1 由得 a + 3 +口 + 1=( 一1 ) “( 2 n+1 )+ 2 凡+3 ( +( 得 n +0 + l +a + 2+a + 3：一2 ( 一1 ) “ + 4n +4 乏 b =口 +a + 1+a + 2+n + 3=4 n+6 ( Z=1 ， 5 ， 9， ， 5 7 ) ， a l +a 2+ +a 6 0=
11、b l +6 5+b 9 + +6 5 7=4 ( 1 +5 + 9 + +5 71+ 6 x 1 5 = 1 8 3 0 解法 5 ： 由 a + l+ ( 一1 ) 8 =2 n一1得 ， a + l= ( 一1 ) a +2 n一1 ， 所以 a + 2=( 一1 ) a “+ 2 n+1=( 一1 ) ( 一1 ) 一 。 +2 一1 +2 n+1=一a +( 一1 ) “ ( 2 n一1 )+ 2 凡+1 ， 即 a + 2+口 =( 一1 ) “ ( 2 n一1 )+2 n+1 ， 于是就有0 柑 +a n + l =( 一1 ) ( 2 n+1 )+2 n+ 3 ， 由 + 得，
12、 a +口 + l +a + 2 +a + 3=一 2 ( 一1 ) +4n +4 从而， 对于任意的非负整数 ， a 4 + I+a 4 + 2+a 4 + 3 +a 4 + 4=一2 ( 一1 ) + 4 ( 4 k + 1 )+4 = 1 6 k+l O， l 4 于是 s 6 0 = ， ( a 4 + l+n 4 + 2+n 4 + 3+n 4 + 4 )= U l 4 ( 1 6 +l o )=1 8 3 0 探 究3 ： 对于含( 一1 ) 的表达式 ， 将其化简 的直接 思路是对 n 分奇数与偶数讨论 在题目2中， 当n=2 k 一1时， a 2 + l a 2 一 l=0 ；
13、 当 n=2 k时 ， a 2 十 20 2 =2 所 以就有 a l=a 3 0 2 =1 ， 口 2 =2 k 于是 S 1 【 x l = ( a 1+a 3 + +a 9 9 )+( a 2+a 4+ +a l0 0 )：5 0+( 2 +4+ +1 0 0 )=2 6 0 0 再看题 目 1 4 7 中 小 学 数学 中 学 版 解 法 6 ： 由 f l 一 一 l 4 n 一 3 得 一 +。 L 。2 n + 1+。2 = 4n 一 1， =2 所 以 a 1+a 3+ +a 5 9=( a I +a 3 )+( 0 5+a 7 ) + +( a 5 7十a 5 9 )：1 5
14、2=3 0 由 a 2 n 4 n 得 +口 2 ： 8 ， L 。2n + 2一 。 2 n + 1= 4n + 1， 所以 a 2+ 4+ +a 6 0= ( a 2 +a 4 )+( a 6+a 8 ) + +( a 5 B十a 6 0 )=8( 1+3+ +2 9 )=1 8 0 0 于是 ， a l+a 2+ +a 6 0=3 0+1 8 0 0： 1 8 3 0 探究 4： 研究通项 是处 理数列 问题 的重要 方法 之 一，从逻辑推理来讲 ， 显得更加严密， 从解题过程来 看 。 显得更加完整 在探究 3中， 看到题 目2的条件可 转化为：当 7, =2 k一1 时， a 2 一a 2 =0 ； 当n=2 k 时， a 2 一a 2 =2 且 a l=1 ， 17 ,2=2 于是可得数列 t a t 的 通 项 公 式 为 ： 。 ： f ， H 为 偶 数 ， 所 以 5 o 。 ： 1 L n ， n为奇数 +2+1+4+1+6+ +1+1 0 0 =5 0+f 2+4+ + 1 0 0 ： 2 6 0 0 题目1的条件中没有告诉数列的首项， 当然也无 法直接求出其首项， 看来数列的每一项并不是确定 的， 而其和却是定值， 只有合并项研究才能确定数列 的通项 可以做下面的尝试 解法 7 ： 由 a +( 一1 ) a =2 n一1得 ， a = (
