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1、公平的席位分配问题数学实验与数学建模公平的席位分配系别 学生 比例 20席的分配人数 （%） 比例 结果甲 103 51.5 乙 63 31.5丙 34 17.0总和 200 100.0 20.0 2021席的分配比例 结果10.8156.615 3.570 21.000 21问 题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比 例 加 惯 例对 丙 系 公 平 吗系别 学生 比例 20席的分配人数 （%） 比例 结果甲 103
2、 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20系别 学生 比例 20席的分配人数 （%） 比例 结果甲 103 51.5 10.3 10乙 63 31.5 6.3 6丙 34 17.0 3.4 4总和 200 100.0 20.0 2021席的分配比例 结果10.815 116.615 73.570 321.000 21“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2当p1/n1= p2/n2 时，分配公平p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=
3、15 p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对A的不公平 程度已大大降低!虽二者的绝对 不公平度相同若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平 对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即“公平
4、”分配方法若 p1/n1 p2/n2 ，定义1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1, n2)应计算rA(n1, n2+1)若rB(n1+1, n2) p2/n2 问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给ArA, rB的定义该席给A否则, 该席给B定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位该席给Q值最大的一方Q 值方法计算，美学角度,可以鉴赏几何平均数的平方三系用Q值方法重新分配 21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
5、甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3用Q值方法分配 第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第 21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法 分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则已知: m方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N。设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2, , nm ( 自然应有n1+n2+nm=N)，记qi=Npi /P, i=1,2, , m, ni 应是 N和 p
6、1, , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, , pm ) 若qi 均为整数，显然应 ni=qi qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则：记 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.1) qi ni qi+ (i=1,2, , m), 2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m) 即ni 必取qi , qi+ 之一即当总席位增加时， ni不应减少“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！评注：学习者除了在寻找适当的数学方法解决席位 的公平分配这一问题本身建模方法外，还应当从 “从建立了相对不公平指标、并最终导出Q-值法” 这一过程得到启发尽管Q-值法能否被发现并 不影响席位分配的最终方案，但用Q-值法来表述 实现算法更加简洁有效，而且很容易将由两个团 体席位分配的算法推广到多个团体的情形，领会 “内容”与“形式”的辨证关系，认真对待自己的每 一次创作.
