《江苏省苏州市第五中学2015届高考数学总复习 第2讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏州市第五中学2015届高考数学总复习 第2讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值课件（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 1函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间(a，b)内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内 ；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内 单凋递增 单调递 减 2函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值f(x)0 f(x)0 (2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，
2、那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点极大值 3函数的最值与导数设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值f(a)，f(b) 感悟提升1一点提醒 函数最值是“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念，极大值与极小值没有必然的大小关系2两个条件一是f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，如(1)二是对于可导函数f(x)，f
3、(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件，如(4)3三点注意一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点处取到三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】 (2013广东卷改编)设函数f(x)(x1)exkx2.(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x0，)上是增函数，求实数k的取值范围解 (1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xx(ex2)令f(x)0，即x(ex2)0，xln 2或x0.x2是函数g
4、(x)的极小值点当21时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极小值点为2，无极大值点考点三 利用导数求函数的最值【例3】 (2012重庆卷)已知函数f(x)ax3bxc在x2处取得极值为c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x212.令f(x)0，得x2或2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3， 2)2(2,2)2(2,3)3f(x)00 f(x)9 c极大 值极小 值9 c由表知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16
5、.由题设条件知，16c28，解得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.规律方法 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】 设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)f(x)2x2，求g(x)在定义域上的最值1注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时
6、，隐含恒成立思想2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得 创新突破3导数在创新定义与不等式中的应用【典例】 (2013安徽卷)设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值反思感悟 (1)本题以不等式的解集构成的区间长度为命题背景，将导数求最值和含参数的不等式解法交汇，命题情境创新(2)解法创新，从不等式出发，构造函数利用导数判断函数的单调性，根据单调性确定最值d(1k)与d(1k)，并借助不等式性质比较二者的关系，体现了转化与化归的思想【自主体验】已知函数f(x)x2ex.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围x(，0)0(0,2)2(2，) f(x)00 f(x)04e2由以上表知，f(x)的极小值为f(0)0；f(x)的极大值为4e2.
