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1、3 8 上 海 中学 数学 2 0 1 0年 第 5期 用 函数 的观 点解 决数 列 问题 2 2 6 0 1 5 江 苏省南通 市小海中学 徐 霞 数列是 反映 自然规律 的基 本数 学模 型， 在 数学研究 中一直有 不可低 估 的地位 ， 是各级 各 类考试 的热点 内容 尤 其是 高考 中十 分重要 的 考查部分 2 O 1 O年 江苏省高 考说 明中数列部 分 的三项 内容 ， 其 中两项能级要求达到 C级 ， 其重 要性不言而喻 数列问题融推理计算 于一体 ， 可与不等式 、 平 面向量 、 导数等诸多知识综 合 ， 形 成复杂深难 的问题 学生在学习时往往不 能灵 活驾驭 ，
2、常常 成为令人望 而生 畏的数学 难题 数 列所 蕴涵 的 思 想方法 和解题技巧比较多 笔者认 为 ， 要 学好 数列 ， 必须弄清 数列 的本质 ， 还原 数列 的“ 本 来 面 目” 必修 5 中， 在数 列 的第一 课时 ， 教 材 中就 指 明： 从函数的观点看 ， 数列可看成 为正整数集 为定义域的函数 n 一厂 ( n ) 当 自变量按照从小 到 大的顺 序依 次取值 时所 对应 的一列 函数值 一 开始就揭示 了数列 足一 种特殊 的 函数 但 是在 后续 的学 习中， 教师是 否 真正地 紧扣 函数 的本 质 ， 学生是否透 彻地 理解其 蕴涵 的 函数 思 想 了 呢?借助
3、几个实例来探索如 何用函数 的观点解 决数列 问题 一 、利用 函数性质解 决等差 、 等 比数列 等差和等比数列是教材 中重点 讨论的两类 特殊的数列 ， 又是较为简单 的递推 数列 ， 在数列 部分 占有很大 的比重 随着学 习内容的增多 ， 知 识的累加 ， 许 多学 生越学 越 累 究其 原 因， 书本 公式 的增多 ， 定理性 质 的扩 展使 得学生 的接 受 趋 于被动 ， 由于这些公 式在学 生们 的 眼里仅 仅 只是公式 ， 看不到更深远 的本质 内容 一旦综 合 性强一点 ， 学 生就容易思维 混乱 ， 局限于就题解 题 ， 对所运用 的知识缺少深刻 而理 性 的思考 ， 缺
4、 少前后 知识 的联系 这样的运用无 疑是机 械的， 死板的 ， 低效 的 形 式稍 有变化 ， 甚 至于有 的学 生时间一长 ， 脱离了公式 ， 对于数列 问题 就毫无 对策 了 其实 ， 在学习和运用 这两种特殊 的数列时 ， 千万不能脱 离它们 的根本 既然数 列是 一种 特 殊 的函数 ， 那 么等差等 比数列 自然 就是 更为 特 殊 的 函数 了 1 等差数列的通项公式 口 =d n +( a l ) 实质上是一次 函数或常函数 ； 2 等差数 列 的前 项 和公 式 与 函数 的关 j ， 系 ： S 一 +( “ l 一 ) ( 1 )公差 ：0首 项 为 0时 ， 是关 于
5、的常数 ； ( 2 )公差 =0首项 不为 0时 ， 是关 于 的正 比例 函数 ； ( 3 )公 差 d 不为 0时， 是关于 的二次 函数 ； 3 等 比数列 与 函数 的关系 ： a 一a l q 一 = e t1q ， 等 比数列 的通项 公式 是一 个不 为 0的常 q 数与指数函数的积 ； 4 等 比数列的前 项和公式与函数的关系 一 q 一 ) 一 al ( 1 一 q ” ) ， 【 T = 一 ( 1 )非常数列 的等 比数 列的前 项 和是关 于 n的一个 指数式 与一个 常数 的和构成 的 ， 而 指数式 的系数与常数项互 为相反数 ； ( 2 )当公 比 q 一1 时
6、， 且首项不为 0 ， 是 ”的正 比例 函数 例 1 定义 在正整数集 上的 函数 一 ( z) 对任意 n ， b N 有 厂( a十6 ) 一厂( 口) ，( 6 ) 恒 成 立， 且 ( 1 ) 一“ 0 ， 若 口 一( ) N S 是 a 前 n项和 ， 若 S 一2 n 是 等 比数列 ， 求实数 “ 分析 ： 要满足 s ， 一2 a ) 是等 比数列 ， 只需 S 一2 aAB“型的公式 只要再 根据题 目中给 的 条件 ， 顺藤摸瓜的搞清数列 n 的性质 即可 解 ： 。 f ( a +6 ) 一厂 ( ) _厂 ( 6 ) 对任意 n， b N 恒成立 ， _厂 ( +
7、1 ) 一 厂( ) f( 1 )：a f( ) ， 即 一n = - 0 n 是以 口 1 一a为 首项 ， 口为公 比的等 比数列 n 一a ” 1 。当一1时 ， S 一2 a ：” 一2不是 等 比数 例 2 。当n 1时， s 一2 n一 一2 n： 2a2- a an + l，则 ：o 解 得 ： a ：o ( 舍) 或 1 1 “ 一 “ 一 反思 ： 掌握 了等差等 比数列与一次 函数 ， 二 上 海 中学数 学 2 0 1 0年第 5期 3 9 次函数 ， 指数 函数的关系之后 ， 在解决 此类 问题 时就可 以借 助这 函数 的性 质特 点 本题 如 若 采用定义法 ， 计
8、算量 显然较大 ， 一旦从通 项公式 的夺质人手 ， 可 以达到事半 功倍 的效 果 二 、把握 定义域 的 特殊 性 数列是一种定 义域 为正整数 集或其 子集 的 一种特殊 的函数 ， 在用 函数的观 点研究 数列 时， 叮忽视它的特殊性 作 为函数 的三要 素之一 ， 定义域有时也影 响了函数 的一些特殊 的性 质 例 2 已知数列 “ 是递增数列 ， 且 “ 一 + 7 ( ” N ) ， 求实数 的取值范围 解法 l ： 足 递增数 列 ， a ” 1 r 1 a ， 恒 成 立 ， 即 ( ” + 1 ) 2 + ( ” 十 1 ) “ +A n ， 得 ： 一 ( 2 ” +1
9、) 恒成立 N ， 一( 2 n +1 ) “ _ - 一3 则 一 3 解 法 2 ： 。 a 一 ” 0 +A n ( ” N ) 是 关 于 的 二次函数 ， 且 是递 增数列 根据 函数 的图像 】 和 单捌性 ， 只需 其对称 轴方程满 足 ： 一 1 ， 即 厶 一 2 反思 ： 这 两种解法 均使用 了函数 的单 调性 解 法 l从单 调性 的定 义 角度 人手 ， 将 问题 转 化 成不等式恒 成立 问题 ； 而 解法 2相 比之下 更 为 简单 ， 注意 到 了利用二 次 函数 的 图像来 解 决应 用单调性 但是最后 的结果不 一致 ， 必 然存在 问 题 仔细 揣摩 ，
10、解 法 2虽 然 紧 抓 二 次 函 数 的 图 像 ， 但却忽略 了数列 的特殊性 本 题对应 函数 的 图像不是连续 的曲线 而是 曲线上 的一些 离散 的 点 ， 所 以 要 满 足 条 件 ， 寸 应 的二 次 函 数 在 1 ， +一) 上并不 一 定要 求 调 递增由图像 可 知 ， 只需要满足 ： 一 一3 函数和数 列 的关 系是 一般 与 特殊 的关 系， j F是这种关系使得 函数 的思 想方法 成为研 究数 列问题 的重要手段和 1 二 具 在数列 的教学 中 ， 渗 透函数的思想方法不仅仅 可以加深 学生 对数列 的认识 ， 而且 叮以深人体 会 特殊 到 一般 再 到
11、特 殊这一认知规律在数列 中的具体应用 三 、紧 抓 函数 关 系 ， 寻 求 突破 除 了等差 ， 等 比这两 种 相对 熟悉 的数列 之 外 ， 绝 大部分的数列都是非 常特殊 的 它们 大多 以多样 的形式 ， 复 杂 的结 构 ， 生 冷 的面 孔 出现 由于缺乏熟悉 的解 题环 境 ， 对 数列 的本 质认 识 不清 ， 学生们 往往困步不前 其 实 ， 紧抓本质 ， 只要是 数列就是 一种 函数 关系 ， 那么所 给 的数列 的通 项 公式 应 当以 一种 项与项数之间的对应关 系 ， 对应 法则来看 待 只 要从这种函数 关 系人 手 ， 想 要揭 开这 些 数列 的 神秘面纱就
12、是水到渠成的事情 了 例 3 已知数 列 a n 一 ( ， ? N*) ， 求 一 99 这 个数列的最大项和最小项分别是第几项? 分析 ： 此题若 采用代数 的方法解 题 ， 运算 量 较 大 然而站在 函数 的角度 ， 这 个 问题 实质上就 是 求 一! 的最 值更 为一 般地 ， 在 研究 z一 99 l， 形 如 一 的函数 时 ， 通常 的做法是 分离 系 n 十O 数 ， 结合 函数的 图像 ， 直观简化数 列问题 解 ： “ 一 9 9 +( 9 9 一 9 8 ) 9 9 一 9 8 n 一 9 9 7 1 一 9 9 二 二 一 一 上1 _ = 二 - 这 个 数 列
13、的 图 像 应 是 对 应 函 数 Y 一1 + 一 。 嘎 t 一、 一 一 上 的一 些 离散 的点 函数 一1 + 的图像 是 由 一 先 向右 平移 9 9 个单位 ， 再 向上 平移 1个 单位得 到的 根据图像可知 ， 当 一9时 ， n 有最小值 ； 当 = 1 O时 ， a 有最大值 反思 ： 本题站在分式 函数 的角度 看似解 决 了一道问题 ， 实质上展示 了一类 问题 的解 法 ， 例 J- 如 ： 变题 1 ： 已知数列 一 ( “ N ) ， a 9 ， 1 o 广 “ 分别 为这个数列 的最小 项和最大项 ， 则实数 a ， b 应满足怎么样的条件? 变题 2 ：
14、已知数列 a ， 一 ( a， b ， c均 为正 u r l弋 一 u 数 ) ， 试判 断 a 与 a +1 的大小关 系 在掌握 了例 3的解 法后 以上两个 变题 ， 学 生很 自然 的就得 出了答案 学 生在 回顾 总结 时 ， 会感悟 到本题 的函数本质 对 比分析 ， 将 这样 的 方法迁移 到更 为一般 的数列问题 四 、整体 把握 函数 ， 大 处着 眼 函数就好像一条线 ， 串连起 整个 高中数学 回顾教材 ， 其实 除了数 列之外 ， 还有许 多特殊 的 函数 ， 如 ： 指数 函数 ， 对数 函数 ， 三角 函数 ， 导 函 数等等 站在 函数 的角 度研究数 列 ，
15、有 的时候也 会将数列 和其他 特殊 的 函数 结合 在一 起 ， 常常 会有一些耳 目一新 的题 目出现 ， 这时 ， 不 能将他 们割裂开来 ， 应该 以一种整体 的思想 ， 统观全局 上海 中学数 学 2 0 1 0年第 5期 提升学生 审题 能力的教学探析 2 0 0 2 3 7 上海市梅 园中学 傅 琳 所谓“ 审题”， 简言之 审清题意 ， 就是弄 清题 目内容 ， 弄清 已经知道 什么 要求 ( 求证 ) 什 么 所 以“ 审题” 是 解题 的前提 ， 是 正确解 题 的关键 之一 ， 不认真 审题就无法进行分析 推理 审题能 力的高低 ， 直 接反 映 了学 生的解 题能 力 和学 习 数学的水平 因此教师在数学教学 中， 尤 其是在 例题教学 中， 要特别重视 培养学生 的审
