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1、辅教导 学 数学通讯 2 O l 4年第 1 1 、 1 2期( 上半 月) 4 9 2 0 1 4年高考四川卷理科第 2 0题的解法赏析和推广 李 波 ( 四川省苍溪县红军 路中段 3 6 2号苍溪 中学 ，6 2 8 4 0 0 ) 2 0 1 4年 高考 已经 落 下 帷 幕 ， 笔 者 特 别 关 注 了 四川卷 理科 的第 2 O 题 ： 例 1 ( 2 0 1 4 年 四川 卷理 科第 2 O 题 )已知椭 圆 c： + 一 1 ( 口 b o )的焦距为 4 ， 其短轴的 两 个端 点 与长轴 的一 个端 点构 成正 三角 形 ( 1 )求椭 圆 C的标 准 方程 ； ( 2 )
2、设 F为椭 圆 C 的左 焦 点 ， T为 直 线 z 一 一3上任 意一 点 过 F作 T F 的垂线 交椭 圆 C于 点 P， Q ( i )证明： 平分线段 P Q( 其中 0为坐标原 点 ) ； ( i i )当 取最 J 、 值 时 丁 的坐标 不 难 发现 ， 该 题 考查 了考 生 对 椭 圆上 的准线 、 直 线 位置 关 系 、 以椭 圆 为 背 景 证 明 共 线 等 知识 的 综合运用 试题立足于基础 ， 注重技能和知识交汇 的考查 ， 凸显 高考对 能力 的要 求 ， 本 文赏 析这 道试 题 的解法 ， 并对试题做了进一步的推广 一、解 法 赏析 1 ( 1 )的解
3、法 由题意知 ： 2 c 一4 ， 口一 3 6 ， 又 a 。 一b = c ， 解 得 口一 6 ， b一 2 ， 所 以椭圆 C的标准方程为 + 221 2 ( 2 ) ( i ) 的解 法 证 明 0 7 “ 平分 线段 P Q， 即证 明三点 共 线 ， 证 明 三共 线 的方法 有 ： 向量法 、 任 意两 点 所 在 直线 的斜 率 相 等 、两 点 所 确 定 的 直 线 经 过 第 三 点 、反 证 法 等 解法 1 设 T( 一 3 ， m) ， F( 2 ， 0 ) 当 m一 0 时 ， 盯 与 z轴重合 ， P Q为通 径 ， 结 论 成立 当 m 0时 ， l m ：
4、 z m y一 2 设 P( x l ， y 1 ) ， r X my 一 2 Q ( x z ， Y 。 ) ， 联 立 + 一 消 去z 得( m 。 + 3 ) y 。一4 m y一2一 o， 则 + 2一 ， z一 ，所 以 z + z z 一 + z 一4一 ， 因 为E 为 线 段 P Q 的 中 点 ， 所 以E ( ， 一c ， 由 一 ( 一 3 ， ) ， 知 = = = ( 一3 ， m) 一 ，所 以 0， E， T三 点共 线 即 O T平 分 线 m 十J 段 PQ 解 法 2 设 F( - 2， O ) ， 当直线 P Q的斜率不存在时， F T与X轴重合 ， P
5、 Q 为通径 ， 结 论成 立 当直线 P Q的斜率存在时 ， 设直线 P Q 的方程 为 Y= ： = k ( x+2 ) ， 显 然 k 0 ， 设 P( x 1 ， 1 ) ， Q( x 2 ， 立 。一十 ： 。 ，消 去 + 1 2 k 。 z+ 1 2 k 6= 0 ， 1 一 ， 2 一 ) +4 k- 因 为E 为P Q的 中 点 ， 所 以E ( ， ) 一 ( = 墨 一 一 F F 由P Q上 T F， 且k 0 知， 忌 F r 一一， 直线盯 庀 的方程为 Y一一( z +2 ) ， 则点 T的坐标为( 一3 ， 庀 T1 ) ， 所以直线 0 7 “ 的方程为Y一一
6、击z ， 显然 宠 銎 一 一 二 ，所 以 0 ，E ， 丁 三 点 共 线 ，3 k 3 k 1 3 k 1 + 0 + 。 一 、 即 OT平分 线 段 P Q 解 法 3 设 P( x 1 ， Y 1 ) ， Q( x ， 2 ) ， P Q 的中点 为 E( z ， v ) 5 O 数学通讯一2 0 1 4年第 1 l 、 l 2期( 上 半月) 辅教导学 由 P 、 Q 在 椭 圆 上 ， 可 知 吾 十 等 一 1 ，詈 + 等 一 1 ， 将 两式相 减得 生 + = ： = o ， 所 以直线 P Q 的 斜 一 等 1 一 JL ，JL u y l y 1 ， 由E 为P
7、Q的 中 点， 可 知X O = = 丢 ， 。 一 ，所 以 k 尸 Q一 丝 一一 ， 因 为 P Q 上 Z S E 2一,Z1 0Yo TF， 所 以 k 一 一3 y o ，设直线 F T 的方程为 Y一 3 y o ( + 2 ) ，易知 T( - 3， 一 3 y o ) 显然 是 饵 一 k o r一 ， 所 以o， E， 丁三点共线 ， 即 OT平分 线段 P Q 解 法 4 假设 直线 O T 不 平 分线 段 P Q， 则 必 有 直线 O E与直线 FT的交 点不 在直 线z一一3 上 设 P( x 。 ， ) ， Q( x ： ， Y ： ) ， P Q 的 中点 为
8、 E( z 。 ， Y o ) ， 则 z 。一 ， 。一 当 z 。 一一2 时 ， F 丁与z轴 重合 ， P Q为通径 ， 结 论 成立 当 z 。一 2时 ， 则 直 线 P Q 的 斜 率 k P 口 一 ，设直 线 P Q 的方程 为 Y 一 ( z+ 2 ) n 1 n I 联 立 孝 + 2 ) ，消 去 可 时 I 吾 + 等一 ， 2 ) +3 y Zo “ x + 1 2 y Zo x+1 2 y ： 一6 ( z 。 +2 ) 一 0 ， 则 -+ z一 一 一 2 一 xo ， 十 一 一 一 化 简得 3 ：一一 。 ( z 。 十 2 ) 因为 上 ， 所 以 志
9、 F 丁一一 ， 则 直 线 F T 的方程 为 y一一 ( 十 2 ) 易 知 直 线 O E 和 直 线 F丁 的 交 点 为 ( 一 3 ， ) ， 显然交 点在 直线 z一一 3 上 ， 这 与直线 0 E 和 直线 F 丁 的交 点不在 直线 一 3 上 矛盾 所 以 0， E， T三 点共线 ， 即 07 “ 平分 线段 PQ 评 注 解法 1先设 T点 的 坐标 ， 再 将题 中各 已知 条件代 数化 ， 用 向量 法 来证 明三 点共 线 ； 解 法 2 先设 P Q的直 线方程 ， 将 已知 条件 等价 转化 ， 用两 点 所确 定 的直线 经 过 第 三 点 的方 法 证
10、明结 论 ； 解 法 3 先巧 设 中点 E的 坐标 ， 再 根据条 件找 到其 余点 与 E点的代数关系， 用斜率相等的方法证明结论 解 法 4先假 设 O T 不经过 中点 E， 从而 推 出矛盾 3 ( 2 ) ( i i )的解 法 求 _广 的 最 小 值 ，需 分 别 将l F 丁 l 、 l P Q f 转 化为代 数式 ， 再来 求代 数式 的最小 值 解法 1 设 T( 一 3， m) ， 由( 2 ) ( i )知 ： 当 一 0 时 ， F 丁与 z轴重合 ， P Q为通 径 ， 此 时 l T F I _ 3 _ 1 ， f P Q l 一 2 b 2 一 以 4 当
11、0 时 ， 由( 2 ) ( i ) 易 知 l F ，f l 。 一 + 1 ， I P Q I 。一 ( m + 1 ) E ( y +Y 。 ) 一4 y Y 将 Y + z一 ， z一 m 5代 入得 m。 十 十 F T l 一( m + 3 ) 。 = =：l (m。 + 1 + 丌 +4 ) 由均值 不 等式知 2 删 一1 一 当且仅当m 十1 一_三 时等号成立， 此时 十l 。一1 显 然 。 ) ， 则g ， ( ) 一 当 o 1 时 ， g ( ) 0 ， g ( ) 在 ( 1 ， + 。 。 ) 上 单 调递 增 所 以 ， g ( ) 在 ( 0 ， + c o
12、 )上 的最小值为l- g ( 1 ) i 一8 ， 此时t 一击 一1 ， 因此 I F T I ： 6 O ) 的左焦点 F，丁为其左准线上任意一点 ， 过 F作 丁 F 的垂 线交 椭 圆 C 于点 P， Q ( 1 ) O T平 分 线段 P Q( 其 中 0为 坐标原 点 ) ( 2 )线 段 P Q 的 中 点 E 的 轨 迹 方 程 为 ( x+2Y + j ： ： =】 ( 号 ) ( 篆 证明 ( 1 ) 设 T ( 一aA， m) ， F( 一 c ， o ) ， 则 一 一一 n 。 D 一 1- 当m一0 时 ， 盯与 轴重合 ， P Q为通径， 结论 成 立 当 m
13、0时 ， 因为 P Q 上 丁 F， 所 以 Z 尸 口 ： Y一 ( + c ) f 一旦( z + ) ， 联 立 xz T yZ 一 ， 消 去 z 得 ( - Jr - a 2 ) 一 2 。 一 6 4一 o 设P( x 1 ， Y 1 ) ， Q( x 2 ， Y 2 ) ， 则Y 1+Y 2 一 2 mc z 2，所 以 m 12 m 。 c 。十 口 。 十一 为 E( X o , Y o )为 线 段 尸 Q 的 中 点 ， 所 以 X o z l + 一 一a 6 2 c + 一7 。 c 2 一一m c 2 + a Z b 2 Y o一 一一 E E + b 2 因 为O
14、 T的方程为 一_ ， 显然 丽 一 一 ， 所以0 ， E ， T 三 m 0 c 0 +a 。 b 。 m c 。 + 0 b 。 一 点共 线 ， 即 OT 平分 线段 P0 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知( ) +( Y o ) z 一 一a Oc D c n b m。 c 1 ( 口 。 b + c ) ( 口 b + 。 c 。 ) 2 以 b + m c 又因为 ： = ： =丽 X o ， 所以( ) + ( ) 一 一一 Xo6 ， 将上 式 移项 配方 得 + 一 1 ( 号 ) 2 ( ) 所 以，线 段 P Q 的 中 点 E 的 轨 迹 方 程 为 型 + ( 号 ) ( ) 。 类 比椭 圆 ， 在 双 曲线 和 抛 物 线 中是 否 有 类 似 的结论呢? 笔者经过探究， 得 出如下结论 结论 2 已知双 曲线 C： 一 一 1 ( 口 0 ， 6 口。 D O ) 的左焦点 F，T为其左准线上任意一点 ， 过 F 作 T F 的垂 线交 双 曲线 C于 点 P， Q ( 1 ) O T平分线段 PQ( 其 中 O为坐标原点) ( 2 )线 段P Q 的 中 点 E 的 轨 迹 方 程 为 一 一 ( 专 ) ( 篆 ) 。 证明同结论 1 ， 有兴趣的读者 自己完成 结论 3 已知抛 物线 C： Y 一 2 p x( p O )的 焦点 F，
