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1、第三章第三章多元正态分多元正态分布参数的假布参数的假设检验设检验主要内容几个重要统计量的分布单总体均值向量的检验及置信域多总体均值向量的检验协方差阵的检验独立性检验正态性检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布一、正态变量二次型的分布一、正态变量二次型的分布1. 分量独立的 n 维随机向量 X 的二次型则 ，其中设且相互独立，记X 的二次型具有以下一些结论：结论1 当 时，则当 时，则有(或记为 ）。结论2 当 ， 的分布常称为非中心分布。定义3.1.1 设 n 维随机向量 XNn( , In )（0），则称随机变量 为服从 n 个自由度、非中心参数的 分布，记为显然则当X
2、Nn( , In )，0，且 时，令结论3 设 ，A为对称矩阵，且 rank (A) = r二次型 （A为对称幂等矩阵）。结论4 设 则其中（对称幂等矩阵），且 rank (A) = r (rn)。结论5 二次型与线性函数的独立性：设 ，A为 n 阶对称矩阵，B 为 mn 矩阵，令 ，Z=BX ( Z 为 m 维随机向量)，若 BA=O，则 BX 和 相互独立。结论6 两个二次型相互独立的条件：设 ，A，B 为 n 阶对称矩阵，则2. 一般 p 维正态随机向量 的二次型p 维随机向量的二次型具有下述结论：结论1 设 则 ，其中结论2 设 则A为对称矩阵 ,rank(A)=r.则结论3 设 A
3、和 B 为 p 阶对称矩阵，则3. 非中心 t 分布和非中心 F 分布定义3.1.2 设 相互独立，令则称 T 的分布具有n个自由度、非中心参数为 的 非中心 t 分布，记为 T t (n, ).定义3.1.3 设 相互独立，令则称 F 的分布为具有自由度为 m , n 和非中心参数为 的 F 分布，记为 FF ( m , n , ).4. 非中心 、非中心 t 分布和非中心 F 分布的应用在一元统计中，关于在一个正态总体 的均值检 验中，检验H0： = 0时，检验统计量为否定域为|T|,其中满足：P|T|= (显显著性水平).当否定H0时，可能犯第一类错误，且第一类错误的概率P“以真当假”=
4、P|T| = 0|=显著性水平 ;当H0相容时，可能犯第二类错误，且第二类错误的概率P“以假当真”P|T| 0设10此时检验统计量T t (n-1, )(非中心参数 )，利用非中心 t 分布可以计算第二类错误 的值，从而得到检验法的功效函数为1- .类似地，非中心 和非中心 F 分布在一元统计的相应检验中，将应用非中心分布来计算第二类错误。二、威沙特二、威沙特(Wishart)(Wishart)分布分布1. 威沙特分布的定义定义3.1.4 设 X(a) Np( 0, ) (a=1,n)相互独立,记为 np 矩阵，则称随机阵的分布为威沙特分布，记为WWp( n , ).显然，p=1时， 此时即
5、就是 .当p=1, 时,W1(n,1)就是一般地，设X(a)Np( ,) (a=1,2,n)相互独立，记则称 服从非中心参数为的非中心威沙特分布，记为 ，其中当X(a)Np(a ,) (a=1,2,n)相互独立，非中心参数或这里其中 p 为随机阵 W 的阶数，n 为自由度，一元统计中的 2对应 p 元统计中的协方差阵.【注】随机阵 W 的密度函数是威沙特于1928年推导出来的，故此分布称为威沙特分布。2. 威沙特分布的性质性质性质1 1 设X(a)Np( , ) (a=1,2,n)相互独立，则样本离差阵A服从威沙特分布，即性质性质2 2 关于自由度 n 具有可加性可加性：设 (i=1,k)相互
6、独立，则其中特别地：（1） aWWp( n , a ) (a0为常数）.（2）设 ，则 ，即性质性质3 3 设 p 阶随机阵 ，C 是mp常数矩阵,则 m 阶随机阵 也服从威沙特分布，即性质性质4 4 分块威沙特矩阵的分布（习题三中第3-4题）:设相互独立，其中又已知随机阵则（1）（2）当 时，W11与 W22 相互独立.性质性质5 5 设 ，记 ，则其中且 与W11相互独立.性质性质6 6 设随机阵 ，则性质性质7 7 设 ，A为 n 阶对称矩阵，则其中性质性质8 8 设 A和 B 均为 n 阶对称幂等矩阵,则相互独立三、霍特林三、霍特林(Hotelling) (Hotelling) T T
7、 2 2 分布分布1. 霍特林 T 2 分布的定义定义3.1.5 设 XNp( 0 , ),随机阵WWp( n, )( 0 , n p ),且 X 与 W 相互独立，则称统计量 为霍特林霍特林 T T 2 2统计量统计量，其分布称为服从服从 n n 个自由度的个自由度的 T T 2 2分布分布，记为更一般地，若XNp( , )( 0 ),则称 T 2 的分布为非中心非中心霍特林霍特林 T T 2 2 分布分布，记为 T 2 T 2( p , n , ) . 2. 霍特林 T 2 分布的性质性质性质1 1 设 X(a)(a=1,n)是来自 p元总体 Np( , )的随机样本，X 和 A 分别是正
8、态总体Np( , )的样本均值向量和样本离差阵,则统计量性质性质2 2 T 2与 F 分布的关系：设 T 2T 2( p , n),则性质性质3 3 设 X(a)(a=1,n)是来自 p元总体 Np( , )的随机样本., A分别为样本均值和样本离差阵，记则性质性质4 4 T 2 统计量的分布只与 p , n 有关，而与无关。设 UNp( 0 , Ip ),W0Wp( n , Ip ), U 和 W0 相互独立，则性质性质5 5 T 2 统计量对非退化变换保持不变.设 X(a)(a=1,n)是来自 p元总体 Np( , )的随机样本, 和 Ax分别表示正态总体 X 的样本均值向量和样本离差阵，
9、则由性质1有令Y(a)=CX(a)+d (a=1,n),其中C为pp非退化常数矩阵, d 为 p 维常向量，则可以证明(习题三中第3-4题)四、威尔克斯四、威尔克斯(Wilks)(Wilks) 统计量及其统计量及其分布分布1. 威尔克斯(Wilks) 分布的定义 定义3.1.6 设 XNp( , ), 则称协方差阵的行列式 | | 为X 的广义方差广义方差.若 X(a)(a=1,n)为 p元总体 X 的随机样本. A 为样本离差阵,则称 或 为样本广义方差样本广义方差.定义3.1.7 设 A1Wp(n1,), A2Wp(n2,) ( 0, n1p),且 A1与 A2独立,则称广义方差之比为威尔
10、克斯统计量或威尔克斯统计量或 统计量统计量.其分布称为威尔克斯分布威尔克斯分布,记为2. 统计量与 T 2 或 F 统计量的关系结论结论1 1 当 n2=1 时,设 n1= n p , 则或结论结论2 2 当 n2=2 时,设 n1= n p , 则结论结论3 3 当 p=1 时，则结论结论4 4 当 p=2 时,则结论结论5 5 当 n22 , p2 时,可用 2 统计量或 F 统计量近似.博克斯(Box)(1949)给出以下结论：其中设( p , n1 , n2) , 则当n时,3. 两个重要结论结论结论1 1 若( p , n1 , n2),则存在(k=1,p)相互独立，使得结论结论2
11、2 若 n2 0.05 ,故 H0 相容.在这种情况下,可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为(假定总体均值 1 0,取1X ).二、似然比统计量二、似然比统计量设 p元总体的密度函数为 f (x, ),其中 是未知参数,且 (参数空间)，又设0是 的子集,我们希望对下列假设：作出判断,这就是假设检验问题.称H0为原假设原假设(或零假设零假设), H1为对立假设对立假设(或备择假设备择假设).从总体X 抽取容量为n 的样本X(t) (t=1,n).把样本的联合密度函数记为 L(X; ),并称它为样本的似然函数样本的似然函数.引入统计量它是样本 X(t) (t=1,n)的函数,常称为为似然比统计量似然比统计量.由于0,从而01.定理定理3.2.13.2.1 当样本容量 n 很大时，近似服从自由度为 f 的 2 分布，其中f 的维数0 的维数.设样本的似然函数为L( , ).检验均值向量0的似然比 统计量为：在第二章2.5中已经
