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1、1第四章第四章 函数应用函数应用学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用1对于函数yf(x)，xD，使f(x)0 的实数x叫作函数yf(x)，xD的零点2方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)0 有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数的零点的存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0.(1)函数yf(x)
2、在区间a，b内若不连续，则f(a)f(b)0 与函数yf(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用)(2)连续函数yf(x)若满足f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数yf(x)在区间(a，b)内的零点不一定有f(a)f(b)0，若yf(x)为单调函数，则一定有f(a)f(b)0.4二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验5解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面求解函数应用问题
3、的思路和方法，我们可以用示意图表示为：类型一 函数的零点与方程的根的关系及应用例 1 已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1 的零点分别为x1，x2，x3，x则x1，x2，x3的大小关系是_反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)0 有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断2跟踪训练 1 若函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )2 xA(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)类型二 用二
4、分法求函数的零点或方程的近似解例 2 在下列区间中，函数f(x)ex4x3 的零点所在的区间为( )A. B.(1 4，0)(0，1 4)C. D.(1 4，1 2)(1 2，3 4)反思与感悟 (1)根据f(a0)f(b0)0 确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|anbn|，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精度的近似解跟踪训练 2 已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)，当
5、2a3b4 时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN N* *，则n_.类型三 函数模型及应用例 3 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为 1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的1 20曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y0 时求x的最大值)非常重
6、要另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响3跟踪训练 3 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在 0的保鲜时间是 192小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是_小时1已知函数f(x)axxa(a0，a1)，那么函数f(x)的零点有( )A0 个 B1 个C2 个 D至少 1 个2.如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )3若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)
7、(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( )A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内4设函数f(x)log3 a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是_x2 x5已知方程 2x10x的根x(k，k1)，kZ Z，则k_.1对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图像、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围2函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题3函数建模的基本过程如图：45答案精析
8、答案精析题型探究例 1 x1x2x3解析 令x2x0，得 2xx；令xln x0，得 ln xx；在同一坐标系内画出y2x，yln x，yx的图像，如图可知x10x21.令h(x)x10，则()210，xxx所以，x1 52即x3()21.所以x1x2x3.1 52跟踪训练 1 C 显然f(x)在(0，)上是增函数，由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解得 0a3.例 2 C f(x)是 R R 上的增函数且图像是连续的，且f(0)e04030，f(1)e430.f(x)在(0,1)内有唯一零点f( )e1 44 3e1 420，f( )1 41 41 2e
9、1 24 3e1 210，1 2f(x)在内存在唯一零点(1 4，1 2)跟踪训练 2 2解析 a2，f(x)logaxxb在(0，)上为增函数，且f(2)loga22b，f(3)loga33b.2a3b4，0loga21，22b1.2loga22b0.6又 1loga32，13b0，0loga33b2，即f(2)0，f(3)0.又f(x)在(0，)上是增函数，f(x)在(2,3)内必存在唯一零点例 3 解 (1)令y0 ，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，1 20故x10，当且仅当k1 时取等号20k 1k220k1k20(k1k)2220 2所以炮的最大射程为 10 千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使 3.2ka(1k2)a2成立 关于k的方程a2k220aka2640 有正根1 20判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当它的横坐标a不超过 6 时，可击中目标跟踪训练 3 24解析 依题意得Error!两式相除可得 e22k ，故 e11k ，故 e33kbe33keb24，即该食品1 41 2在 33的保鲜时间是 24 小时当堂训练1D 2.D 3.A4(log32,1) 5.2
