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1、 1高等计算流体力学讲义（2） 有需要 DOC 格式的请下载后索取 第二章第二章 可压缩流动的数值方法可压缩流动的数值方法 1. Euler 方程的基本理论方程的基本理论 0 概述概述 在计算流体力学中，传统上，针对可压缩 NavierStokes 方程的无粘部分和粘性部分分 别构造数值方法。 其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法； 而粘性项的离散相对简单， 一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的 Euler 方程的解法。在推广到 Navier Stokes 方程时，只需在 Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler 方程是一种典型 的非线性守恒系统。 下面我们将讨
2、论一般的非线性守恒系统以及Euler方程的一些数学理论， 作为研究数值方法的基础。 1 非线性守恒系统和非线性守恒系统和 Euler 方程方程 一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式 0 xF tU，0, tRx（1） 其中 U 称为守恒变量，是有 m个分量的列向量，即T muuuU),.,(21。T mfffF),.,(21称为通量函数，是 U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即： 0)(lim 0 UF U即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。 守恒律的物理意义 设 U 的初始值为：0( ,0)( ),U xUx xR。如果0( )Ux在xR中有紧支集（即0U
3、在有限区域以外恒为零） ，则0( , )( )U x t dxUx dxRR。即此时虽然( , )U x t的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。 多维守恒律可以写为 0)(kHjGiFtU（2） 守恒律的空间导数项可以写为散度形式。 守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式 20)( xUUAtU（3） A 是mm矩阵，称为系数矩阵或 Jacobi 矩阵，其具体形式为 111122221212.mmmmmmfff uuufff uuuAfff uuu （4） ，容易验证：FUAxx，通常也记FAU。流体力学无粘流动的 Euler 方程是典型的非线性守恒律，可以写为 0 xF tU（5） 其中
4、： TTuHpuuFEuU),(),(2（6） 这里，u，p，E，H 分别为密度、速度、压力、总能和总焓。对于完全气体，2 21ueE，2 21uhH，) 1( pe为内能，peh为焓。为比热比，对于空气，=1.4。 把（5）式写成拟线性形式，其 Jacobi 矩阵为： uuEuEuuuA232213) 1(1)3(2)3(010（7） 守恒型方程和非守恒型方程。 原始变量对应的非守恒型 Euler 方程 ()0txWA W W 20()01/0uWuA Wupau 为什么要研究守恒型方程？ 使用非守恒型方程计算有激波间断的流动，激波位置或激波速度可能不对。 32双曲型方程的定义双曲型方程的定
5、义 令 Jacobi 矩阵的特征值为mkk, 2 , 1,)(，则如果 A 的所有特征值均为实数且 A 可以对角化（即有 m个线性无关的特征向量） ，则（3）式（以及（1）式）称为双曲系统。如果 A 的所有特征值为互异实数，则（3）式称为严格双曲系统。 矩阵 A 的特征值，由下式定义： 0 IA （8） 显然，对于mm阶矩阵， （8）式有 m个根mkk, 2 , 1,)(。 对于一维 Euler 方程，有： auuau)3()2()1(（9） 其中pa 为音速。显然 Euler 方程为双曲型方程。 双曲型系统有 m个独立的特征向量，设mlll,21为左特征向量，则 mklAlkk k, 2 ,
6、 1,)( （10） 左特征向量为行向量。设左特征向量组成的矩阵 mlllL 21（11） 则： LLA （12） 其中： (1)(2)()(,)mdiag (13) 设mrrr,21为右特征向量，则 kk krrA)( （14） 右特征向量为列向量。设右特征向量组成的矩阵为 mrrrR,21 （15） 4则： RAR （16） 由（12）式， （16）式分别有 1LLA （17） 1RRA （18） 矩阵A与一个对角阵相似，我们称A可以对角化。显然 1 LR 。 （19） 3特征线与特征线与 Riemann 不变量不变量 以左特征向量左乘（3）式 0 xUAtUlk（20） 考虑到 kk k
7、lAl，有： 0 xU tUlkk （21） 我们称由 Udttdxk （22） 定义的一族曲线k为（3）式的特征线。 沿特征线 kkDUUU dx Dttx dt显然在特征线上： 0kDtDUlk，mk, 2 , 1 （23） 特征线的意义：对于两个自变量的双曲系统，通过引入特征线，可把偏微分方程组（3） 式化为特征线上的常微分方程组（23） 。 （23）式称为特征相容关系。 具体到一维 Euler 方程，左特征向量为： 2122 2 22232(1),12211(1)2,2 , 221(1),12211uuaaluaaluuauuaalua 特征相容关系为 0DtDuaDtDp， audt
8、dx （24） 50DtDS， udtdx （25） 其中pCSvln为熵。对于均熵流动， （24）式可以积分出： constR，沿audtdx 其中 auR12 。此时（25）式退化为： Sconst 4. 广义解广义解(弱解弱解) 考虑 Bergers 方程 0,0 txuuuxRt(26) 0( ,0)( )u xux 考虑如下初始条件, 010( )10101xuxxxx 当存在连续解时, 0( , )(,0)()u x tu xutuxut 由此可知 1 1( , )11 01xt xu x ttxt x 参见图 1 u t=1/2 t=1 6即1t时 11,1( , )|0,1tx
9、u x tx可见,对于非线性问题,即使初始值是连续的,其解仍然可能出现间断。 对于 Euler 方程， 其解的结构中可能出现激波或接触间断，此时，不存在古典意义下的解（古典解要求解是充 分光滑的） 。为此，必须拓展双曲型守恒律解的概念。 定义（广义解或弱解） ： 设 U(x,t)是分片连续可微的函数，在t0的半平面，如果对于与 U(x,t)的间断线 只有有限个交点的任意分段光滑的闭曲线，都有: ( )0F U dtUdx ?， (27) 则称 U(x,t)为方程0 xF tU在初值 U(x,0)=U0(x),x下的广义解或弱解。 如果已知 U(x,t)是光滑的，设围成的区域为，则由(27)式利
10、用 Green 公式知 ()0UFdxdtFdtUdxtx ?(28) 由于闭曲线可以在光滑区内任取，由(28)式可得： 0 xF tU（29） 即，在光滑区，弱解就是古典解。 假定),(txU是由一条间断线 tXX 分隔开的分片连续可微函数， 取如图所示的闭曲线 x=x(t) x t )(txx )(txx t=t2 t=t1 P 7在上应用（27）式，有 )()(2 )(2221),(,txtxtttxxdxtxUdtdtdxttxUdtttxUF 1121( )1( )( ),( , )0tx ttx tx x tdxF U x ttdtU x ttdtU x t dxdt令0，则上式可
11、简化为： 210, 0, 0, 0, 0)()(tttxxtxxdtdtdxttxUttxUFdtdxttxUttxUF令 ttxUU, 0 ttxUU, 0)(txxdtdxD 并考虑到 t1,t2可以任意取值，有： FD U (30) 其中 UFUFF， UUU。 上述关系（30）式称为 Rankine-Hogoniot 关系。综上所述，双曲型守恒律的弱解txU,是被有限个间断线分开的分片光滑函数。在光滑区，txU,满足微分方程（29）式，在间断线的两侧，txU,满足 R-H 关系。 广义解是不唯一的。为了说明这一问题，我们举一个例子：考虑 Burgers 方程在初值为 010( )10x
12、uxx时的解。此时，Bergers 方程为2(/2)0txuu，初值在0x 处有一个间断。0x 处的Rankine-Hogoniot 条件为： 22 0000(/2)|(/2)|( |)xxxxuuD uu 由上式知0D 。所以，0( , )( )u x tu x在间断处满足 Rankine-Hogoniot 条件，在其他地方满足微分方程，即0( , )( )u x tu x是 Bergers 方程的一个广义解。另外，容易验证 1( , )/1xtu x tx ttxtxt 8也是 Bergers 方程的一个广义解。所以广义解一般不唯一，但是对于由明确物理意义的守恒 律，其中只有一个解是有物理意义的，我们称之为物理解。为了得到我们关心的物理解，广 义解除了必须满足（27）式外，还必须满足附加的条件，这个条件因为与热力学第二定律所 起的作用相同，被称为熵条件。 5.熵条件熵条件 熵条件熵条件 1)1)物理解物理解： 方程22UFU txx的解如果当0时，几乎处处有界的收敛到分片连续可微函数( , )U x t，则( , )U x t是0UF tx的物理解。 熵条件熵条件 2)2)解析熵条件解析熵条件： 我们首先针对 Euler 方程讨论熵条件。对于 Euler 方程，熵有明确的物理意义。对于完全气体/Sp，其中是绝热指数（比热比） 。在光滑区，有 0DS Dt或 0S
