《利用互余关系巧解三角函数题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用互余关系巧解三角函数题（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、利用互余关系巧解三角函数题彭海燕(佛山市南海中学,广东 528211)恰到好处地利用角的互余关系常常能 使我们的思路豁然开朗,近几年的高考由于 淡化了三角变换的人为技巧,因此对互余角 的变换的考查便摆上比较显著的位置,有鉴 于此,笔者认为对于此类问题有关方法的探 究就显得十分必要.从高考试题来看,互余关 系有隐性与显性两种,而考查方式则主要集 中在三角求值与对三角函数性质的考查上, 下面举例加以说明. 1 显性的互余关系 有些问题中角的互余关系比较明显,能 够快速发现,解决这类问题只需将互余关系 的函数换名即可,积累一些常见互余关系的角能使我们的解题事半功倍.如4+与4-,3+与6-等.例1
2、(2005年江苏卷)若sin(6-)=1 3,则cos(2 3+2) =( )(A)-1 3. (B)-7 9.(C)7 9.(D)1 3.分析:题设条件给出的角是6-,而目标中的角是2 3+2,不难发现2 3+2=2(3+) ,而(6-) + (3+) = 2,即3+与 6-互余.解 由题意知:sin(6-) =1 3,且(6-) + (3+) = 2,故cos(3+) =sin(6-) =1 3,所以cos(2 3+2) =2cos2(3+) -1= -7 9.例2 (2004年湖南卷)已知sin(4+2)sin(4-2)=1 4, (4, 2) ,求2sin2+tan-cot-1的值.分
3、析:注意到(4-2) + (4+2)= 2,从而sin(4-2)=cos(4+2) ,或sin(4+2) =cos(4-2) ,这样便能很快地将原式化成倍角形式,为问题的获解明确 了方向.解 由sin(4+2)sin(4-2) =sin(4+2)cos(4+2) =1 2sin(2+4)=1 2cos4=1 4,得cos4=1 2.又(4, 2) ,所以=5 12.从而2sin2+tan-cot-1= -cos2+sin2-cos2 sincos= -cos2+-2cos2 sin2= - (cos2+2cot2) = - (cos5 6+2cot5 6) = - ( -3 2-23) =5
4、23.例3 (04年全国卷)函数y =2sin(3-x) -cos(6+ x) ( xR)的最小值等于( ) (A)-3. (B)-2.(C)-1.(D)-5. 分析:这是一个求三角函数的最值的问 题,常规方法是通过和角与差角公式展开合6数 学 通 讯 2006年第12期并同类项,再利用辅助角公式化为Asin(x+)的形式再结合三角函数的有界性求解.但若能注意到(3- x) + (6+ x) = 2,则能很快获解.解 由(3- x) + (6+ x) = 2可得sin(3- x) =cos(6+ x) ,于是y =2sin(3- x) -cos(6+ x) =sin(3- x) ,又xR,所以
5、函数的最小值为-1. 例4 (04年广东卷)函数f ( x)=sin2( x + 4) -sin2( x - 4)是( ) .(A)周期为的奇函数. (B)周期为的偶函数. (C)周期为2的奇函数. (D)周期为2的偶函数. 分析:对于求函数周期性和奇偶性的问 题常常是将目标函数转化为y = Asin(x +) ,再利用T =2 |和定义求解.显然首先需要对目标函数进行化简,常规思路是利用倍角公式sin2=1-cos2 2进行降次,再利用辅助角公式,这样一来工作量较大,在分秒 必争的高考考场上显然不合算.其实若能注意到sin2( x - 4)为偶函数,则sin2( x - 4)=sin2(4-
6、 x) ,于是不难发现(4+ x) + (4-x) = 2.解 由于(4+ x) + (4- x) = 2,所以cos2( x - 4) =sin2( x + 4) ,所以f ( x) =sin2( x + 4) -sin2( x - 4) =cos2( x - 4)-sin2( x - 4) =cos2( x - 4) =cos(2x - 2) =sin2x ,于是函数是周期为的偶函数.2 隐性的互余关系 有些问题中角的互余关系不是很明显, 需要结合条件和结论中函数名和角的关系去发现.例5 已知cos(4+ x) =3 5,17 12 x7 4,求sin2x +2sin2x 1-tanx的值
7、.分析:目标函数与条件直接的关系不是 很明显,需要进行一定的化简.解 (方法1)切化弦,将角4+ x视为整体,再利用倍角公式及辅助角公式.sin2x +2sin2x 1-tanx=2sinxcosx +2sin2x1-sinx cosx=2sinxcosx(cosx +sinx)cosx -sinx.利用辅助角公式,则得cosx +sinx =2sin(4+ x) ,cosx -sinx =2cos(4+ x) .又 17 12 x 7 4,5 3 4+ x 2,sin(4+ x) 0,sin(4+ x) = -4 5.再注意到sin2x = -cos(2+2x)=-cos2(4+ x) ,故
8、可利用余弦二倍角公式来解.原式= -4 3sin2x =4 3cos(2x + 2)=4 3cos2( x + 4) =4 32cos2( x + 4) -1= -28 75. (方法2)注意到分母中的 “1-tanx”,联想到1+tanx 1-tanx=tan(4+ x) ,而其中的角正是 “ 4+ x”.sin2x +2sin2x 1-tanx=sin2x +2sinxcosxsinx cosx 1-tanx=sin2x1+tanx 1-tanx72006年第12期 数 学 通 讯=sin2xtan(4+ x)(1)又 17 12 x 7 4,5 3 4+ x 2,cos(4+ x)=3
9、5,sin(4+ x)=-1-cos2(4+ x)= -4 5,tan(4+ x) = -4 3.又 sin2x = -cos(2+2x)= -cos2(4+ x) = - 2cos2(4+ x) -1=1-29 25=7 25. 将上述结果代入(1) ,原式= -4 37 25= -28 75. 说明 整体思想是三角求值中的常见 思想.本题的两种方法尤为值得注意.更为重要的是本题中的角 “2x” 与 “ 4+ x” 的变换方法,即sin2x = -cos(2+2x)= -cos2(4+x) =1-2cos2(4+ x) =2sin2(4+ x) -1,还有:sin2x =cos(2-2x)=
10、cos2(4-x) =2cos2(4- x) -1=1-2sin2(4-x) ;cos2x =sin(2-2x) =sin2(4-x)=2sin(4-x)cos(4-x) ;cos2x =sin(2+2x) =sin2(4+ x)=2sin(4+ x)cos(4+ x) ;以上便是我们所说的隐性的互余关系之一,即通过2-2x与2x来进行衔接.例6 已知43 4,0 4,cos(4-)=3 5,sin(3 4+)=5 13,试求sin(+) .分析:本题如果直接求出sin,sin,则将 显得比较繁琐.如果从整体上考虑,将化繁为简,事半功倍.若能注意到(3 4+) -(4-) = 2+ (+) ,
11、将会为我们解决问题打开突破口.这里发现sin(+) = -cos2+ (+) 是关键,这也是我们所说的隐性的互余 关系!解 43 4,0 4,2 4+,4 4+ 2.cos(4-) =3 5,sin(3 4+) =5 13,sin(4+) =3 5,cos(4+) =5 13,cos(4+)= -1-sin2(4+)= -1- (3 5)2= -4 5,sin(4+) =1-cos2(4+)=1- (5 13)2=12 13,sin(+) = -cos2+ (+) = -cos ( 4+) + (4+) = -cos(4+)cos(4+) +sin(4+)sin(4+) =4 5513+2 31213=56 65. 说明 在三角变换中,注意已知角与 待求式的角之间的关系,以确定角的变换方 式是很重要的.本题的难点很多,首先是要发现(3 4+) - (4-) = 2+ (+)这一互余关系,其次在解题过程中还要时刻注意着 角的范围这些隐含条件,这些都是成功解题 中不可或缺的品质.(收稿日期:2006-02-26)8数 学 通 讯 2006年第12期
