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1、 数学物理方法习题数学物理方法习题 一、复变函数部分习题一、复变函数部分习题 第一章习题第一章习题 1、证明函数( )Ref zz=z在 平面上处处不可导。 2、试证( )2fzz=仅在原点有导数。 3、设333322()z0( )z=00xyi xy f zxy+=+ ， 证明( )zf在原点满足 CR 条件，但不可微。 4、若复变函数( )zf在区域上解析，并满足下列条件之一，证明其在区域上必为常数。 DD（1）( )zf在区域上为实函数； （2）D( )*zf在区域上解析； D（3）( )Rezf在区域上是常数。 D5、证明不能成为 的一个解析函数得实部。 2xyz6、若，试证： zxi
2、y=+（1）； sinsincoshcos sinhzxyix=+yy（2）； coscos coshsinsinhzxyix=（3）222sinsinsinhzx+y； （4）222coscossinhzx=+y。 7、试证若函数( )f z和( )z在解析。0z()()000f zz=， ()00z则( ) ( )() ()000limzzzfzfz z=。 （复变函数的洛必达法则） 8、求证： 0sinlim1 zz z=。 第二章习题第二章习题 19、利用积分估值，证明 a()22iixiydz +，积分路径是联结i到i的右半圆周。 b证明222iidz z+积分路径是直线段。 10、
3、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中 均为圆心在原点， c半径为1的单位圆周。 acoscdz z ?； b256zce dz zz+ ?。 11、计算 a. ()221:21czzdzczz+= ?； b. ()()2221:2 1czzdzcz z+= ?。 12、求积分(:1zcedzczz= ?)，从而证明()cos0cos sined=。 13、由积分2cdz z+之值，证明 012cos054cosd+=+，c为圆心在原点，半径为1的单位圆周。 14、设( )26 4zF zz+=，证明积分( ) cF z dz ?a.当 是圆周时，等于 ； c221xy+=0b.当 是圆周()
4、时，等于4c222xy+=1i； c.当 是圆周时，等于c()222xy+=12 i。 第三章习题第三章习题 15、求下列级数的收敛半径，并对 c 讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。 a.11n n nzn=；b.； c.（为常数） ； 1nnnn z= 0knnn z=0k 16、试求下列级数的收敛半径。 a.； b.!0nnz= 0!n n nnzn=；c. ()00,0nnn nzabaib=+。 217、将下列函数按 的幂展开，并指明收敛范围。 za. ； b. 。 0zze dz2cosz18、将下列函数按的幂展开，并指出收敛范围。 1z a. cosz； b. 2z z+； c. 2
5、25z zz+。 19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。 a.21 (1)z zz+ ,01, 1zz上展成 的罗朗级数； z（3）在12z+上展成()1z+的罗朗级数。 第四章习题第四章习题 22、确定下列各函数的孤立奇点，并指出它们是什么样的类型（对于极点，要指出它们的阶） ，对于无穷远点也要加以讨论： （1） ()2211zz z+； （2）1coszi+； （3）1 sincoszz+。 23、求( )1 1zzef ze=+在孤立奇点处的留数。 24、求下列函数在指定点处的留数。 3（1）()()211zzz+在1,z = ； （2）241ze z在0,z =。 25、求下列函
6、数在其奇点（包括无穷远点）处的留数， （是自然数） m（1）1sinmzz（是自然数） ； （2）m()21zez ； （3）31 sinze z。 26、求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数。 （1）1 2zze； （2） () ()()1mzz 。 27、计算下列积分 （1） 1sinzdz zz=?； （2）() ()1,1,1,nnzdzabab zazb=+。 29、求下列各积分的值 （1）()()222014x dx xx+； （2）()22cos (1)9xdxxx+； （3）()440sin0,0xmxdxmaxa+。 30、从izcedzz ?出发，其中 为如图所示
7、之围线， 方向沿逆时针方向。证明 c400cossin 2xxdxdxxx=。 二、数学物理方程及特殊函数部分习题二、数学物理方程及特殊函数部分习题 第五章习题第五章习题 31、弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受阻力tFRu= （比例常数R叫做阻力系数） ，试推导弦在这阻尼介质中的振动方程。 32、长为 柔软均质轻绳，一端（l0x =）固定在以匀速转动的竖直轴上。由于惯性离心力的作用，这绳的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。 33、长为l的均匀杆，两端由恒定热流进入，其强度为。试写出这个热传导问题的边界条件。 0q34、半径为R而表面燻黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光
8、方向垂直于柱轴，热流强度为M。设圆柱外界的温度为，试写出这个圆柱的热传导问题的边界条件。 0u第六章习题第六章习题 35、长为 的弦，两端固定，弦中张力为T，在距一端为l0x的一点以力把弦拉开，然后突然撤除这力，求解此弦的振动。 0F36、研究长为l，一端固定，另一端自由，初始位移为而初始速度为零的弦的自由振动情况。 hx37、求解细杆的热传导问题。杆长为l，两端温度保持为零度，初始温度分布为()20tbx lxul=。 38、求解细杆的热传导问题。杆长为l，初始温度为均匀的，两端0u5温度分别保持为和。 1u2u39、长为l的柱形管，一端封闭，另一端开放。管外空气中含有某种气体，其浓度为，向
9、管内扩散。求该气体在管内的浓度。 0u(,u x t)40、均匀的薄板占据区域0xa = =有限值。 53、用一层不导电的物质把半径为 的导体球壳分隔为两个半球壳，使各半球分别充电到电势为和， 试计算球壳内外的电势分布。 a1v2v54、半径为 ，表面燻黑的均匀球，在温度为的空气中，受着阳光 a00的照射，阳光的热流强度为，求解小球里的稳定温度分布。 0q55、计算下列积分 （1）( )3 0x Jx dx； （2）( )3Jx dx。 56、半径为R而高为H的圆柱体下底面和侧面保持零度，上底面温度分布为( )2f=，求柱体内各点的稳恒温度（稳定温度分布） 。 57、设半径为R的无限长圆柱形物体的侧面温度为，初始温度为 002 0tu=2R，求此物体的温度分布随时间的变化规律。 （无限长与 u无关） 58、圆柱体半径为R而高为H，上底面保持温度，下底面保持温度，侧面温度分布为1u2u( )(12 22 2uuH)f zzzHHHz=+，求解圆柱体内各点的稳恒温度（稳定温度分布） 。 7
