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1、专业课强化精讲课程第2讲随机信号分析1随机信号分析：随机过程的基本概念；平稳随机过程；高斯过程；窄带随机过程；白噪声和带限白噪声；正弦波加窄带随机过程；随机过程通过线性系统。23.1.1 随机过程的分布函数设 (t)表示一个随机过程，它在任意时刻t1的值 (t1) 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函 数来描述。 （1）随机过程 (t)的一维描述 一维分布函数3一维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。目的/意义： 可以把随机过程(t)当作一个多元的随机变量来看待，而 用这个多元随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)的分布函数或 概率密度来描述随机过程的统计特性。 显然，n 越
2、大，对随机过程的描述越充分。统计独立:对于任何n个随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成立fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）=f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。4随机过程在任意给定时刻t的均值。3.1.2 随机过程的数字特征 1. 均值（数学期望）随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随 机变量，其均值式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函数。由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x ，这样56a (t ) (t)的均值是时间的确定函数，常记作a
3、 ( t )，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心：2. 方差7均方值均值平方方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时 刻 t 相对于均值a ( t )的偏离程度。3.协方差与相关函数 (t)不同时刻取值之间的相互关系假定：(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量 。（1）相关函数同一随机过程的相关程度f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二维概率密度函数。 可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 R( t,)（2）协方差函数8相关函数和协方差函数之间的关系
4、： 特别：若a(t1) 或 a(t2)为0，则 B(t1, t2) = R(t1, t2)4. 互相关函数两个随机过程的相关程度9(t)和(t)是不相关的-正交的随机过程。统计独立的两个随机过程 是不相关的。式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 相应地：R(t1, t2)称为自相关函数。 特别：3.2 平稳随机过程1.定义若一个随机过程(t)，它的任意有限维分布或概率密度函数与 时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数，有10则称(t)是严格意义下的平稳随机过程或狭义平稳随机过 程。2.性质该定义表明： 平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的 一维分布函数与时间t无关：11
5、3. 数字特征 而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：可见：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。严平稳随机过程的数字特征：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。 4.广义平稳随机过程把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过 程。意义： 具有各态历经性平稳随机过程十分有趣，非常有用。 通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具 有各态历经性的随机过程。123.2.2 各态历经性 问题的提出随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程 的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大 量的样本。问题：能否从
6、一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决 定平稳过程的数字特征呢? 回答是肯定的：平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有 用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具 有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全 可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 条件？13 各态历经性条件设： i(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其 时间均值和时间相关函数分别定义为：14如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。 “各态历经”的含义：随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有 可能状态。 各态历经随机过程的特点好处在求解各种统计平均（均值或自相关函
7、数等）时，无需 作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“ 时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测 量和计算的问题大为简化。 注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一 定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均 能满足各态历经条件。153.2.3 平稳过程的自相关函数特别重要，因为： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函 数来描述； 相关函数揭示了随机过程的频谱特性。 （1）平稳过程自相关函数的定义：16（2）平稳过程自相关函数的性质 (t)的平均功率 的偶函数 R()的上界，R()在 = 0有最大值。 (t)的直流功率 (t)的交流功率特别
8、：均值为0时，有 R(0) = 2（3） | R()|R(0) - R() 的上界。证：由于 E(t)(t+)2 0 从而 E(t)(t+)2 = E2(t)+2(t+)2(t)(t+) = E2(t)+ E2(t+)2E(t)(t+); -平稳= 2R(0)2R()0所以，得 R(0)R()即 |R()|R(0)17（4）R()=E2(t)=a2 -(t)的直流功率。 证：注：这里利用了当时(t)与(t+)变得没有依 赖关系，即统计独立，且认为(t)不含有周期分量。（5） R(0)- R()= 2 -方差，(t)的交流功率。 证： 由 D(t)= E(t)-a(t)2 =E2(t) -2a(
9、t)+ a2= E2(t) - a2 =R(0)- a2得 2= R(0)- R()183.2.4 平稳随机过程的功率谱密度P() 相关函数R()的又一重要性质。设：(t)平稳，R()绝对可积则在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它 是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。 意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为 傅里叶关系。简记为：19维纳-辛钦关系讨论： （1）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：20从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。（2）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的 功率谱密度。也就是说，任一样本函数的谱特性都能很好地 表
10、现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相 关函数。213.3 高斯随机过程3.3.1 定义 如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,.）分布均服 从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。 特点：高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均 值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只 需要研究它的数字特征就可以了。 一维时：3.3.2 重要性质（1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳 。（2）高斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间若不相关，则它们也是统计独立的。fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）f1（x1，t1）f2（x2，t2）
11、.，fn（xn，tn） （2.5.3）（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线性系统）角度。22则称为服从正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。a均值，2方差 。3.3.3 高斯随机变量高斯过程在任一时刻上的取值。 1. 定义/概率密度函数若随机变量的概率密度函数可表示成23曲线：性质：1）对称于直线x=a; 2）在 内单调上升， 在 内单调下降，且 在a点处达到极大值;3） 4）a 表示分布中心，表示集中的程度。一定时，。242. 正态分布函数 （1）一般表示式这个积分不易计算，常引入误差函数或Q函数（可查表）来表 述。25（3）
12、用误差函数表示正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。1）误差函数定义误差函数：互补误差函数：262）误差函数的性质 误差函数是递增函数，它具有如下性质： 互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：273）用误差函数表示正态分布函数28或：（2）用Q函数表示正态分布函数Q函数定义：29Q函数和erfc函数的关系： Q函数和分布函数F(x)的关系：Q函数值也可以从查表得到。303.4 平稳随机过程通过线性系统 3.4.1 线性系统复习 设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为 ：h(t)、H() ，则：H()h(t)。周知：线性系统响应v0(t)等于输入信号vi(t)与冲击响应h(t) 的卷积，
13、即：确知信号通过 线性系统：理解：上式对于确知信号是没有问题的。 当输入是随机过程 (t)的一个实现i1(t)随 机函数时，便有输出随机过程o1(t)。 进一步：当输入是随机过程i(t)时，便有输出随机过程 o(t)。且有： 随机信号通过 线性系统：系统满足物理可实现条件: h(t)=0，t0；输入有界 （满足狄里赫利条件）。则有：31任务：假设i(t)为平稳随机过程，且已知其统计特性，求 0(t)的统计特性。 注：考察一个实现就够了。 假设：i(t) 是平稳的输入随机过程，a 均值， Ri() 自相关函数， Pi() 功率谱密度； 求输出过程o(t)的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以 及
14、概率分布。323.4.2 o(t)的统计特性1.o(t)的平稳性（1）均值结论：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与 H(0)相乘。且E0(t)与t无关。与t无关。33（2）相关函数34仅与有关。综上: o(t)平稳。35由 进行傅里叶变换，得令 = + - ，代入上式，得到即 结论： 应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro() 。2. 0(t)的功率谱密度及分布函数 （1）输出过程o(t)的功率谱密度36由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时 刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和 输出过程也为高斯过程。注
15、：与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。（2）输出过程o(t)的分布函数 结论：证：从积分原理看可以表示为：373.5 窄带随机过程窄带过程 3.5.1窄带随机过程的概念 1.什么叫窄带随机过程？频谱：所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫。时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相 位随机缓慢变化的近似正弦。问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的? 可以看出：(t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特 性确定.若(t)的统计特性已知，则a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的 统计特性也随之确定。382. 表达式两种！3.5.2 已知(t)的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性结论1若(t)：均值为0、方差为2、窄带、平稳、高斯随机过程。则：（1）c(t)、s(t)同样是
