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1、第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形2 6 求直线的实长和平面的实形在前面学习直线和平面的投影时，我们讨论了一般位置直线和一般位置平面的投影特点。由于二者均与三个投影面成倾斜位置，因此三个投影都不能反映实长或实形。在绘制机械图样时，常常会遇到需要解决实际长度和实际形状的问题。 求一般位置直线的实长和一般位置平面的实形的方法有多种，这一节介绍的是用变换投影面的方法求得实长和实形。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形一、换面法的基本概念变换投影面法的应用1： 在V、H两投影面体系中，AB为一般位置直线，其两面投影均 不能反映实长。 为求AB实长可设一V1投影面 ，V1面与AB平行并垂直于H
2、投 影面。将AB线向V1面作正投影 ，则AB线在V1面上的投影便可反映实长。 直线的新投影还可反映角的实际大小。正投影的“真实性“表明，当空间的直线或平面与投影面成平行时 ，其投影能够反映直线的实长和平面的实形。变换投影面的基本方法 是，设置新的投影面来代替原来的某一投影面，并使新投影面与空间 几何元素处于有利于解题的特殊位置。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形一、换面法的基本概念变换投影面法的应用2：图中ABC平面为一铅垂面，其水平投影积聚为一直线，正面投影为缩小的类似图形。为求得ABC平面的实际形状，可设一新投影面V1，V1面与 ABC平面平行并垂直于H投影面。第二章 第六节 求直线
3、的实长和平面的实形一、换面法的基本概念关于换面法的术语解释：1.旧投影面 指图中的V、H面2.旧投影 指几何元素在V、 H面上的投影3.被替换的投影面 图中的新 面V1与H面垂直，替换了旧投影 面V，因此V面为被替换的投影面, V面上的投影称为被替换的投影4.不变投影面及不变投影 指 图中的H面以及几何要素在H面上的投影从下图可以看到，所设置的新投影面应符合以下两点原则：1.新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面，并与它 组成新的投影面体系。必要时可作连续变换。2.新投影面应处于有利于解题的位置。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形一、换面法的基本概念关于换面法的术语解释：5.新投影
4、面指图中的V1面，如果需要也可设H1面6.新投影轴新投影面与不变投影面的交线，如图中的O1X17.新投影指几何要素在新投影面上的投影,如a1b1关于换面法的投影规律和投影面的转换方法：在对几何要素进行投影变换时 ，仍旧遵循着正投影的基本规律以 及投影面的转换方法。换面法的投影面转换过程如图所示。（点击图形演示动画）第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形二、点的投影变换 1.点的一次变换 同前面分析点的投影一样，分析点的投影变换、掌握点的变换规律 是解决直线和平面变换的基础。 V、H两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一V1面， V1和H 面构成新的两投影面体系。A点在V1面上的正投影记做a
5、1。a1与a的连线和O1X1轴的交点记 做ax1。将V1与H面展开。（点击图形演示动画）第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形二、点的投影变换1.点的一次变换问题1：点的新投影a1与不变投影a的连线？垂直于新轴O1X1。（点的变换规律1） 问题2：点的新投影a1到新轴O1X1（ax1)的距离？等于被替换的投影a到旧轴（ax）的距离。（点的变换规律2）根据上述两点规律便可作出点的投影变换。 在用换面法解决实长或实形等问题时，也可采用变换H1面的方法。变换H1面与变换V1面的规律是一样的，即： 1.点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴 2.点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影 到旧轴的距离。需
6、要注意的是谁是点的不变投影、被替换的投影。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形1.点的一次变换例：已知A点的两面投影a、a，试作出给定位置的A点新投影。作图分析： 从图中标注可知变换的是V1投影面，a为 被替换的投影，a为不变投影。按照点的变换规 律即可作出A点的新投影。作图步骤：第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形1.点的一次变换例：已知A点的两面投影a、a，试作出给定位置的A点新投影。又 ：作出A点在H1面上的投影。 作图分析： 变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步 骤相同 。作图步骤：本题的投影变换作图为点A的两个一次变换。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形2.点的次变
7、换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两次投影面， 这样的变换方法称为二次变换。 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换的原则和变 换的规律与一次变换方法完全相同。 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的投影、新轴 和旧轴，准确定出点的新投影的位置。点的二次变换的分析： 图中先变换的是V1面，接着作第二次变换 。此时的H1面与V1面垂直，被替换是H面，而 V1面为不变投影面。 O2X2为新的投影轴，O1X1则成了旧投影轴。（点击图形演示动画）第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形2.点的次变换 例：作出A点的二次变换投影图。作图分析：两次变换的规律是一样的，要
8、注意的 是在作第二次变换时定准点的新投影的位 置。作图过程如图所示。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形三、直线的投影变换直线的变换主要解决以下两个方面问题： 求直线的实际长度或倾角 求直线的积聚性投影 变换直线可归结于变换直线上的两端点的作图。只是要根据解决的 实际问题确定变换的新投影面的位置。1.将一般位置直线变换为投影面平行线通过一次变换可将一般位置直线变 换为投影面平行线，求得直线的实际长 度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长，所设置的新投 影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出，体现新面位置 的新轴就应平行于AB线的水平投影 ab。第二章 第六节 求直线的实长和平面的
9、实形三、直线的投影变换 1.将一般位置直线变换为投影面平行线 例：求出AB直线的实长以及对H面倾角。作图分析： 在水平投影图的适当位置作一平行于ab的 新轴O1X1，然后按照点的变换规律作出AB线的新投影。作图步骤如图示。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形三、直线的投影变换 2.将一般位置直线变换为投影面垂直线通过一次变换使得直线在新投影面上的投 影积聚为一点。因此所设置的新投影面应与 直线成垂直。例：将AB直线变换为一投影面垂直线。注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。作图分析： 因AB直线为一正平线，故所设的新投影面应垂直于AB线 的正面投影。体现 新面位置的新轴 O1X1应垂直
10、于ab。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形三、直线的投影变换 3.将一般位置直线变换为投影面垂直线 要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次换面。从下图 可看出，第一次换面将直线变换为投影面平行线。再将投影面平行线变 换成投影面垂直线，使变换后直线的新投影积聚为一点。例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。作图分析：第一次设置一与 AB平行的V1面，将 AB直线变换为投影面平行线。再设置垂直于AB线的 H1面，则AB的新投影积聚为一点。作图过程如图示。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形四、平面的投影变换1.将投影面垂直面变换为投影面平行面通过平面的变换主要解决两方面的问题：将平
11、面变换为投影面平行面，求得平面的实际形状将平面变换为投影面垂直面，求得平面与投影面的夹角变换平面的方法同变换点、直线相同，只是由于要找的点比较多，在作图时更要细心。作图分析：图中的ABC平面为一铅垂面，通过一次换面便可求得其实际形状。因新投影面应平行于空间的平面，所以新投影轴就应平行于空间平面的积聚 性投影。即O1X1abc。投影面的空间转换关系如图所示。（点击图形演示动画）第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形四、平面的投影变换 例：用换面法求出ABC平面的实际形状。作图分析：由于ABC平面为一铅垂面 ，O1X1轴应平行于平面的积聚性投影。作图过程如图所示。第二章 第六节 求直线的实长和平
12、面的实形四、平面的投影变换 2.将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：1.在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水平线）2.设置与投影面平行线成垂直的新投影面（如下图中设置的V1面）作图分析：可通过一次变换将一般位置平面变换成投影面垂直面。在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。根据变换原则和变换的要求，可以想到所设置的新面既要与投影面垂直又要与空间的平面成垂直。要注意理解新投影面垂直于空间平面 内的一条线，也就垂直于空间平面。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形四、平面的投影变换作图步骤如图示：例：将ABC平面变换为投影面垂直面。第二章 第六节 求直线的实长和平面的实形四、平面的投影变换 3.将一般位置平面变换为投影面平行面上述的分析步骤实际上就是将前 面所介绍的两种变换平面的方法综合 加以应用。作图分析： 将一般位置平面变换成投影面平行面要作两次变换。即先变换成投影面垂直面，使平面的新投影产生积聚，再将其变换为投影 面平行面。例：求出上一例题中的ABC平面的实形。前一例的作图已将平面变换为投影面垂直 面，现只需接着作后一次变换。
