《九年级数学一元二次方程的解法及应用人教实验版知识精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学一元二次方程的解法及应用人教实验版知识精讲（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初三数学初三数学一元二次方程的解法及应用一元二次方程的解法及应用人教实验版人教实验版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程的解法及应用教学目的使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法；掌握一元二次方程因式分解解法的步骤；明确这个解法的方程一边必须是零；理解由高次转化为低次是解方程的思路之一。教学重点、难点重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法。用因式分解法解一元二次方程。难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法。教学过程 一、公式法一元二次方程 ax2bxc0(a0)中，b24ac，叫做根的判别式，通常用记号表示，bacbac2244()注意不是定理 1 方程
2、有两个不等实数根。axbxca2000()中，定理 2 方程有两个相等实数根。axbxca2000()中，定理 3 方程没有实数根。axbxca2000()中，正用的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。反用的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母 的值。例 1. 解方程：x(x1)7(x1)2(x2)。解：解：（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式 x26x110。（2）确认 a，b，c 的值 a1，b6，c11（3）判断 b24ac 的值 b24ac6241(11)800，（4）代入求根公式因为xbbac a24 264 5 2所以 xx1232 532
3、5 ，例 2. 解关于 x 的方程 x2mx2mx23x。解：解：把原方程整理，化为(1m)x2(m3)x20 因为二次项系数 1m 是含字母 m 的式子，应该分类讨论：（1）当 1m0，m1 时，式是一元二次方程，可代入求根公式。a1m，bm3，c2，b24ac(m3)242(1m)(m1)20xbbac amm mxmx ，2124 231 2 12 11()() ()（2）当 1m0，m1 时，原方程为2x20，得 x1。例 3. 不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x211x50（2）322 62xx（3）2x23x40（4）xx23 33 5（5）(x1)(x2)8（6）3 2
4、12 22xx（7）ax2bx0(a0)（8）ax2c0(a0)解：解：（1）2x211x50a2，b11，c5b24ac(11)242(5)121401610 即0方程有两个不相等的实数根。（2）322 62xx将方程整理为一般式：32 6202xxabc 32 62， bac2242 643224240() 即0方程有两个相等的实数根（3）2x23x40a2，b3，c4b24ac3242(4)932410即0方程有两个不相等的实数根。（4）xx23 33 5将方程整理为一般式：xxabc23 33 5013 33 5 ， bac2243 3413 52712 50()() 即0方程有两个不
5、相等的实数根。（5）(x1)(x2)8将方程化为一般式：x23x280a1，b3，c10b24ac(3)24110940310即0方程没有实数根。（6）3 212 22xx将方程化为一般式；3 22 2102xxabc 3 22 21， bac2242 243 211 22 30()即0方程没有实数根（7）ax2bx0(a0)此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零。b24acb24a0b2不论 b 取任何实数，b2均为非负数0方程有两个实数根。（8）ax2c0(a0)此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，将一次项系数视为零。b24ac04ac4ac讨论 a，c 的符号，才
6、能确定判别式的符号：(A)当 a 与 c 异号时，4ac0，方程有两个不相等的实数根；(B)当 a 与 c 同号时，4ac0，方程没有实数根；(C)当 c0 时，方程有两个相等的实数根。例 4. 关于 x 的方程 x2(2m1)x(m2)20。m 取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？解：解：(2m1)24(m2)25(4m3)。（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；430mm 3 4（2）当时，原方程有两个相等的实数根；m 3 4（3）当时，原方程没有实数根。m 3 4例 5. 已知方程 2x2(k9)x(k23k4)0 有两个
7、相等的实数根，求 k 值，并求出方 程的根。解：解：因为方程有两个相等实数根，所以0即(k9)28(k23k4)0，k218k818k224k320化简，得 k26k70，(k7)(k1)0所以 k17，k1。当 k7 时，原方程为 2x216x320，得 x1x24；当 k1 时，原方程为 2x28x80，得 x3x42。例 6. a，b，c 是三角形的三条边，求证：关于 x 的方程 b2x2(b2c2a2)xc20 没有实数根分析：分析：此题需证出0。已知条件中 a，b，c 是三角形的三边，所以有 a0，b0，c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边” ， “任意两边之 差小于
8、第三边” 。证明：证明：因为(b2c2a2)24b2c2(b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc(bc)2a2(bc)2a2(bca)(bca)(bca)(bca)。(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)因为 bca，即 bca0，同理 bca0，又 cab，即 bca0。又 abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。所以，原方程没有实数根。二、因式分解法例 1. 解方程：x23x解：解：原方程变形为 x23x0左边分解因式， x(x3)0，x0 或 x30xx1203，例 2. 解方程：3x(x4)5(x4)解：解：移项 3x(x4)5(x4)0提取公因式(
9、x4)得(x4)(3x5)0得 x40 或 3x50所以xx1245 3，例 3. 解方程(2x1)270解：解：原方程可变形为()()2172170xx21702170xx 或xx121 2171 217()()，例 4. 解下列方程：（1）3x216x50；（2）3(2x21)7x解：解：（1）方程左边运用十字相乘，得，所以。()()3150xxxx121 35，（2）原方程整理为 6x27x30。左边分解因式，得(3x1)(2x3)0，所以，xx121 33 2 ，例 5. 解方程：2x27x30解法一：解法一：配方法27 23 207 23 2022()xxxx，xx2227 27 4
10、7 43 20( )( )()xx7 425 167 45 42，xx1231 2解法二：解法二：公式法x 77423 2275 42 ()，xx1231 2解法三：解法三：分解因式法()()xxxx3 21031 212，3 种方法，结果相同。三、应用题例 1. 某印刷厂一月份印刷 50 万册书，三月份印刷 72 万册书，求月平均增长率是多少？解：解：设月平均增长率为 x。一月份印 50 万册，二月份的印刷数为 5050x50（1x） ， 三月份的印刷数为 50（1x）50（1x）x50(1x)2列方程 50(1x)272(1x)21.441x1.2x10.220，x22.2（不合题意舍去）
11、答：月平均增长率为 20。例 2. 剪一块面积是 150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，这块铁片应怎样剪？解：解：设这块铁片宽 xcm，则长是(x5)cm。依题意，得x(x5)150，即 x25x1500， x 5541150 2525 22()x110，x215(舍去)x10，x515答：答：应将之剪成长 15cm，宽 10cm 的形状。四、含有绝对值的一元二次方程例 1. 方程 x|x|8|x|40 的实数根的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4解：解： 显然 x0 不是方程的根。当 x0 时，xx8x40。x0 的任何实数不可能是方程的根。当 x0 时，方程为 x28
12、x40。此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因 x0，故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选 A。例 2. 求方程 x2|2x1|40 的实数根。解：解：令得210x x 1 2显然不是方程的解x 1 2当时，方程是x 1 2xx22140()即xxxx223031 ，解得或x1 舍去，x3当时，方程是x 1 2xx21240()即解得xx2250 ，x 16舍去，x 16x 16故方程的实数根是。xx12316 ，【模拟试题模拟试题】 （答题时间：40 分钟）一、公式法1. 用求根公式法解下列方程；( ) 12202xx( )2 28102yy；( ) 3 231 802xx( )
13、4 3212yy；( ) 5 25102xx( )62 5302xx；( )7 34502xx( )824 32 202xx；( ) .9 0020030352xx()()()10 12 33 132xx2. 解方程：(求根的近似值，精确到 0.01)（1）x23x70；（2）5x25x103. 解关于 x 的方程：（1）x22axb2a2（2）x2m(3x2mn)n20（3）(ab)x2(4a2b)x(b5a)0（4）abx2(a2b2)xa2b20二、因式分解1. 用因式分解法解下列各方程：（1）x25x240；（2）12x2x60；（3）x24x1650；（4）2x223x560；（5）；924164122xxx（6）；333 32()()xx（7）；xx23260()（8）；()xx 251062（9）t(t3)28；（10）(x1)(x3)15。2. 用因式分解法解下列方程：（1）(y1)22y(y1)0；（2）(3x2)24(x3)2；（3）9(2x3)24(2x5)20；（4）(2y1)23(2y1)20。三、根的判别式1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ ）A. 7x2x10B. 9x24(3x1)C. D. xx271503 22 2102xx2. 若 a，b，c 互不相等，则方程(
