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1、图像的傅里叶变换Fourier Transformation For Image时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。图例：受噪声干扰的多频率成分信号 时间幅值频率时域分析频域分析信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提 供比时域信号波形更直观，丰富的信息。 一维FT及其反变换n连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):n傅立叶变换F(u)的反变换:一维DFT及其反变换n离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,N-1)的傅立叶变换:F(u)的反变换的反变换:计算F(u)： 1) 在指数项中代入 u=0
2、，然后将所有x 值 相加，得到F(0)； 2) u=1，复对所有x 的 相加，得到F(1)； 3) 对所有M 个u 重复 此过程，得到全部完 整的FT。n离散傅里叶变换及其反变换总存在。n用欧拉公式得每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成； u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。傅里叶变换的作用傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的 分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学 棱镜。傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量信号变化的快慢与频率域的
3、频率有关。噪声、边缘、 跳跃部分代表图像的高频分量；背景区域和慢变部分 代表图像的低频分量二维DFT傅里叶变换n一个图像尺寸为MN的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):nF(u,v)的反变换:二维DFT傅里叶变换n(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的 平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数)， 其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。n 二维连续傅里叶变换1） 定义2） 逆傅里叶变换3） 傅里叶变换特征参数频谱/幅度谱/模能量谱/功率谱相位谱傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间 频率可以
4、理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。xy0XY相应的空间频率分别为对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度作 周期性变化的次数。思考：噪声、线、细节、 背景或平滑区域对应的空 间频率特性？傅里叶变换的意义傅里叶变换好比一个玻璃棱镜棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪 器，每个成分的颜色由波长决定。傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”， 将函数基于频率分成不同的成分。一些图像的傅里叶变换是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方 向传播的单色平面波分量的线性叠加。 为权重因子。空间频率 表示了单色 平面波的传播方向。对于xy平面上一点的复振幅分布g(x,y)可由逆傅里叶变 换表
5、示成：n 二维离散傅里叶变换1） 定义2） 逆傅里叶变换离散的情况下，傅里叶变换和逆傅里叶变换始终存在。例 设一函数如图（a）所示，如果将此函数在自变量并重新定义为图（b）离散函数，求其傅里叶变换。取样（a）（b）xy1-1j-j图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使 得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它 们时，其高频项变得越来越不清楚。解决办法：对数化2526主极大的值用Fmax表示，第一个旁瓣的峰值用Fmin表示例题：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频谱。 解：源程序及运行结果如下：%对单缝进行快速傅里叶变换
6、，以三种方式显示频谱， %即：直接显示（坐标原点在左上角）；把坐标原点平 %移至中心后显示；以对数方式显示。 f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221),imshow(f,),title(单狭缝图像) F=fft2(f); %对图像进行快速傅里叶变换 S=abs(F); subplot(222) imshow(S,) %显示幅度谱 title(幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）)Fc=fftshift(F); %把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央 subplot(223) Fd=abs(Fc); imshow(Fd,) ratio=ma
7、x(Fd(:)/min(Fd(:) %ratio = 2.3306e+007,动态范围太大，显示器无法正常显 示 title(幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）) S2=log(1+abs(Fc); subplot(224) imshow(S2,) title(以对数方式显示频谱)运行上面程序后，结果如下：n 二维离散傅里叶变换的性质 线性性证明：%imagelinear.m %该程序验证了二维DFT的线性性质f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg); g=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.30(a).jpg);
8、m,n=size(g); f(m,n)=0; f=im2double(f); g=im2double(g); subplot(221) imshow(f,) title(f) subplot(222) imshow(g,) title(g)F=fftshift(fft2(f); G=fftshift(fft2(g); subplot(223) imshow(log(abs(F+G),) FG=fftshift(fft2(f+g); title(DFT(f)+DFT(g) subplot(224) imshow(log(abs(FG),) title(DFT(f+g) 可分离性二维DFT可视为由
9、沿x,y方向的两个一维DFT所构成。其中：例题：编程验证二维离散傅里叶变换可分离为两个一维离 散傅里叶变换。解： %myseparable.m %该程序验证了二维DFT的可分离性质 %该程序产生了冈萨雷斯数字图像处理（第二版） %P125 图4.4f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg); subplot(211) imshow(f,) title(原图) F=fftshift(fft2(f); subplot(223) imshow(log(1+abs(F),) title(用fft2实现二维离散傅里叶变换) m,n=size(f); F=f
10、ft(f); %沿x方向求离散傅里叶变换 G=fft(F); %沿y方向求离散傅里叶变换 F=fftshift(G); subplot(224) imshow(log(1+abs(F),) title(用fft实现二维离散傅里叶变换) 平移性证明： （1）频域移位结论：即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0） 移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅 里叶变换即可实现。例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱 坐标原点移至屏幕正中央的目标。当解：完成本题的源程序为： %在傅里叶变换之前，把函数乘以(-1) x+y，相当于把频谱 %坐
11、标原点移至屏幕窗口正中央。 f(512,512)=0; f=mat2gray(f); Y,X=meshgrid(1:512,1:512); f(246:266,230:276)=1; g=f.*(-1).(X+Y); subplot(221),imshow(f,),title(原图像f(x,y) subplot(222),imshow(g,),title(空域调制图像g(x,y)=f(x,y)*(- 1)x+y) F=fft2(f); subplot(223),imshow(log(1+abs(F),),title(f(x,y)的傅里叶频 谱) G=fft2(g); subplot(224),
12、imshow(log(1+abs(G),),title(g(x,y)的傅里叶 频谱)（a） 在0 N-1周期中有两个背靠背半周期（b） 同一区间内有一个完整的周期这就意味着，坐标原点移到了频谱图像的中间位置，这一点十分重要， 尤其是对以后的图像显示和滤波处理。例题：利用(-1)x对f(x)曲线进行调制，达到平移频域坐标原点 至屏幕正中央的目的。%以一维情况为例，说明空域调制对应着频域坐标原点移位。 f(1:512)=0; f(251:260)=1; %产生宽度为10的窗口函数 subplot(221),plot(f),title(宽度为10 的窗口函数) F=fft(f,512); %进行快速
13、傅里叶变换，延拓周期周期为512 subplot(222) plot(abs(F) %绘幅度频谱（频谱坐标原点在左边界处） title(幅度谱（频谱坐标原点在左边界处）) x=251:260; f(251:260)=(-1).x; %把曲线f(x)乘以(-1)x，可以把频谱 %坐标原点移至屏幕正中央 subplot(223),plot(f),title(宽度为10 的调制窗口函数)F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换 subplot(224); plot(abs(F) %直接显示幅度频谱（频谱坐标原点在正中央） title(幅度谱（频谱坐标原点在中央）) figure f(1:51
14、2)=0; f(251:270)=1; %产生宽度为20的窗口函数 subplot(221),plot(f),title(宽度为20 的窗口函数) F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换，延拓周期周期为512 subplot(222) plot(abs(F) %绘幅度频谱（频谱坐标原点在左边界处） title(幅度谱（频谱坐标原点在左边界处）) x=251:270; f(251:270)=(-1).x; %把曲线f(x)乘以(-1)x，可以把频谱坐标原点移至 屏幕正中央 subplot(223),plot(f),title(宽度为20 的调制窗口函数) F=fft(f,512); %
15、进行快速傅里叶变换 subplot(224); plot(abs(F) %直接显示幅度频谱（频谱坐标原点在正中央） title(幅度谱（频谱坐标原点在中央）)（2）空域移位： 周期性和共轭对称性 周期性：共轭对称性：证明： （1）周期性：(2) 共轭对称性： 旋转不变性 证明：注：为看清问题的实质、简化旋转不变性的证明，以 上用二维连续傅里叶变换进行证明。实际上，由连续 积分公式进行离散化处理，即可得到离散公式，证明 可参照连续情况进行。f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221); imshow(f,) title(原图) F=fftshift(fft2(f); subplot(222); imshow(log(1+abs(F),) title(原图的频谱) f=imrotate(f,45,bilinear,crop); subplot(223) imshow(f,) title(旋转450图) Fc=fftshift(fft2(f); subplot(224); imshow(log(1+abs(F
