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1、试题（试题（1 1）一、解答题（共 17 小题）1、设 x1，x2，x7为自然数，且 x1x2x3x6x7，又 x1+x2+x7=159，则 x1+x2+x3的最大值为 _ 2、如果 2006 个整数 a1，a2，a2006，满足下列条件： a1=0，|a2|=|a1+2|，|a3|=|a2+2|，|a2006|=|a2005+2|，那么，a1+a2+a2005的最小值是 _ 3、若 m 和 n 都是正整数，且 m1996，则 r 的最小值为 _ 4、设 x 为正实数，则函数 y=x2x+ 的最小值是 _ 5、如果把分数 的分子、分母分别加上正整数 a，b 结果等于，那么 a+b 的最小值是
2、_ 6、正实数 a，b，c，d 满足 a+b+c+d=1，设 p=+，则（ ） A、p5B、p=5 C、p5D、p 与 5 的大小关系不确定7、已知 y=+（x，y 均为实数） ，则 y 的最大值与最小值的差为（ ）A、21B、42C、32D、228、如图所示，已知ABC 的高 AD、BE 交于 H，ABC、ABH 的外接圆分别为O2和O1，求证：O 与O1的半径相等9、如图所示，在ABC 中，AB=AC，有一个圆内切于ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求证：线段 PQ 的中点 O 是ABC 的内心10、如图，点 H 为ABC 的垂心，以 AB 为直径的O1和BCH 的外
3、接圆O2相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P， 求证：点 P 为 CH 的中点11、如图，ABC 的三边满足关系 BC= （AB+AC） ，O、I 分别为ABC 的外心、内心，BAC 的外角平分线交O 于 E，AI 的延长线交O 于 D，DE 交BC 于 H，求证：（1）AI=BD；（2）OI= AE12、已知外心 G，内心 I，且 AB+AC=2BC，求证：GIAI13、已知 x+y+z=1，3y+z2，0x1，0y2，求 W=2x+6y+4z 的最大值和最小值14、设 x1，x2，x2008是整数，且满足下列条件：（1）1xn2（n=1，2，2 008） ；（2）x1+x2+x20
4、08=200； （3）x12+x22+x20082=2 008 求 x13+x23+x20083的最小值和最大值15、设 x 为正整数，则函数的最小值是多少？16、求分式的最小值17、整数 x0，x1，x2，x3，x2002，x2003满足条件： x0=0，|x1|=|x0+1|，|x2|=|x1+1|，|x3|=|x2+1|，|x2003|=|x2002+1|，求：|x1+x2+x3+x2002+x2003|的最 小值答案与评分标准 一、解答题（共 17 小题）1、设 x1，x2，x7为自然数，且 x1x2x3x6x7，又 x1+x2+x7=159，则 x1+x2+x3的最大值为 61 考点
5、：函数最值问题。 专题：计算题。分析：根据 7 个数的和为 159，分别得到用 x1，x2，x3表示的 7 个数的和与 159 进行比较，得到 3 个数的 最大值，相加即可解答：解：x1，x2，x7为自然数，且 x1x2x3x6x7，159=x1+x2+x7x1+（x1+1）+（x1+2）+（x1+6）=7x1+21，x119 ，x1的最大值为 19；又19+x2+x3+x7=159，140x2+（x2+1）+（x2+2）+（x2+5）=6x2+15，x2，x2的最大值为 20，当 x1，x2都取最大值时，有 120=x3+x4+x7x3+（x3+1）+（x3+4）=5x3+10， x322，
6、x3最大值为 22x1+x2+x3的最大值为 19+20+22=61 点评：考查一元一次不等式的应用；用所求的未知数表示出 7 个数的和与 159 进行比较得到最大值，是 解决本题的突破点2、如果 2006 个整数 a1，a2，a2006，满足下列条件：a1=0，|a2|=|a1+2|，|a3|=|a2+2|，|a2006|=|a2005+2|，那么，a1+a2+a2005的最小值是 2004 考点：函数最值问题；整数问题的综合运用。专题：规律型。分析：可以把 2006 个数分为 502 个小组（a1，a2，a3，a4） （a5，a6，a7，a8）（a2001，a2002，a2003，a200
7、4） （a2005，a2006） ，分别求出这些组的最小值，然后求和 即可解答：解：可以把 2006 个数分为 502 个小组（a1，a2，a3，a4） （a5，a6，a7，a8）（a2001，a2002，a2003，a2004） （a2005，a2006） ，第一组，取 a1=0，a2=2，a3=4，a4=2 其和最小=4，第二组，取 a5=0，a6=2，a7=4，a8=2 其和最小=4，倒数第 2 组，取 a2001=0，a2002=2，a2003=4，a2004=2其和最小=4，最后一组，取 a2005=0，a2006=2这些数的和最小为 501（4）+0=2004，故答案为2004点评
8、：本题主要考查函数最值问题和整数问题的综合运用的知识点，解答本题的关键是对这些数进行分 组，此题有一定难度3、若 m 和 n 都是正整数，且 m1996，则 r 的最小值为 考点：函数最值问题。专题：计算题。分析：根据求出 m、n 的关系，再根据 m1996 得到 n 的取值范围，然后确定 r 的最小值即可解答：解：，m2n，m1996，n998，当取得最小值时， 取得最大值，此时 m 取得最大值 n 取得最小值，即：m=1996，n=999 时 r 取得最小值，r=2=故答案为：点评：本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是根据题目的已知条件求得 m，n 的值，本题是一道中 档题4、设 x
9、为正实数，则函数 y=x2x+ 的最小值是 1 考点：函数最值问题。专题：常规题型。分析：这个题目是将二次函数 y=x2x 与反比例函数 y= 作叠加，然后进行两次配方：y=（x1）2+（）2+11，因而 x=1 时，y 有最小值 1解答：解：x 为正实数，由函数 y=x2x+ ，得 y=（x1）2+（）2+1，（x1）20， （）20，（x1）2+（）2+11，即 y1；函数 y=x2x+ 的最小值是 1故答案是：1点评：本题主要考查了函数最值问题解答该题时，将二次函数 y=x2x 与反比例函数 y= 作叠加，然后进行两次配方：y=（x1）2+（）2+11 或 y=+11，要求学生在掌握二次
10、函数求最值（配方法）的基础上，做综合性与灵活性的运用5、如果把分数 的分子、分母分别加上正整数 a，b 结果等于，那么 a+b 的最小值是 28 考点：函数最值问题。专题：计算题。分析：根据题意，得=，结合 a、b 为正整数，可知最小的 a 满足 9+a=92，最小的 b 满足7+b=132解答：解：根据题意，得 =，设 9+a=9k，7+b=13k，其中 k 为正整数两式加相，得 a+b=22k16因为 a、b 为正整数，所以 a+b 必为正整数所以 22k160，解得，k，且 k 为正整数当 k=1 时，a=0，b=6，不合题意，舍去；当 k=2 时，a=9，b=19；所以 a+b 的最小
11、值是 28；故答案是：28 点评：本题考查了函数的最值问题本题利用分数的基本性质和两个分数相等的条件来解的注意 a=0，b=6 并不满足题意，故 a+b 的最小值不是 66、正实数 a，b，c，d 满足 a+b+c+d=1，设 p=+，则（ ） A、p5B、p=5 C、p5D、p 与 5 的大小关系不确定 考点：函数最值问题。分析：首先由 a，b，c，d 均为正数，且 a+b+c+d=1，可得：0a，b，c，d1；再分析与 x+1 的大小关系即可得到：x+1，则问题得解 解答：解：a，b，c，d 均为正数，且 a+b+c+d=1，必有 0a，b，c，d1p=+，事实上我们在 xOy 坐标系中作
12、出函数 f（x）=的图象， 显然可以发现其图象一定在点（0，1）和（1，2）这两点连线的上方，而这两点连线的方程为 y=x+1， 可以发现在（0，1）上恒有x+1，当然这样只是画图所得，未必准确，还要严格证明，证之如下：上式两边平方得：3x+1x2+2x+1，x2xx（x1）0，而此时 x（0，1） ，可见上式显然成立所以我们有： a+1，b+1，c+1，d+1，以上四式相加得 p=+a+b+c+d+4=5，即有 P5故选 A 点评：此题考查了函数的最值问题，还考查了学生的分析能力解题的关键是掌握函数 f（x）=的性质7、已知 y=+（x，y 均为实数） ，则 y 的最大值与最小值的差为（ ）
13、A、21B、42C、32D、22考点：函数最值问题。分析：首先把 y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差解答：解：y=+，y2=4+2=4+2，1x5，当 x=3 时，y 的最大值为 2，当 x=1 或 5 时，y 的最小值为，故当 x=1 或 5 时，y 取得最小值，当 x 取 1 与 5 中间值 3 时，y 取得最大值，故 y 的最大值与最小值的差为 22，故选 D点评：本题主要考查函数最值问题的知识点，解答本题的关键是把函数两边平方，此题难度不大 8、如图所示，已知ABC 的高 AD、BE 交于 H，ABC、ABH 的外接圆分别为O2和O1，求
14、证：O 与O1的半径相等 考点：三角形的五心；四点共圆。分析：首先作辅助线：过 A 作O 和O1的直径 AP、AQ，连接 PB、QB， 即可证得：P、B、Q 三点共线，又由 H 是ABC 的垂心，证得 D、C、E、H四点共圆，则可证得P=Q，易得O 与O1的半径相等 解答：证明：过 A 作O 和O1的直径 AP、AQ，连接 PB、QB，则 ABP=ABQ=90故 P、B、Q 三点共线因 H 是ABC 的垂心， 故 D、C、E、H 四点共圆，AHE=C而AHE=Q，C=P，故P=Q，AP=AQ因此O 与O1的半径相等 点评：此题考查了三角形的垂心的性质解题时要注意三点共线与四点共 圆等知识的应用
15、 9、如图所示，在ABC 中，AB=AC，有一个圆内切于ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求证：线段 PQ 的中点 O 是ABC 的内心 考点：三角形的五心。 专题：证明题。分析：根据题意画出图形，设小圆圆心为 O1，O1与ABC 的外接圆切于 D，连 AO1，根据切线的性质可知 AO1PQ，ABC 为等腰三角形，由图形 对称的性质可得出 P、B、D、O 四点共圆，再由圆周角定理即可得出结论解答：证明：设小圆圆心为 O1，O1与ABC 的外接圆切于 D，连 AO1，则 AO1PQ，ABC 为等腰三角 形，AO1过ABC 的外接圆，D 在 AO1的延长线上，O 为ABC 的顶角BAC 的平分线的点，连接 OB、PD、QD，由对称性可知，OD 平分PDQ，APQ=PDQ，PQBC，APQ=ABC，PDQ=ABC，由 P、B、D、O 四点共圆，P
