初中数学手册——平面几何

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1、平面几何平面几何直线与角一、直线、射线与线段 1、 直线 (1) 定义：一个点在空间内沿相同或相反的方向运动的轨迹叫做直线 (2) 性质：过两点有且只有一条直线 2、 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线 3、 线段 (1) 定义：直线上的两个点和它们之间的部分叫做线段 (2) 性质：两点之间线段最短二、角 1、 角 (1) 定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角 (2) 表示：AOB 或O 1 (3) 角的分类周角：360 平角：180 直角：90锐角：090 钝角：90180周角 平角 直角锐角 钝角 2、 角平分线 (1) 定义：从一个角的顶点出发，把这个分成相等的两个角的射线叫

2、做这个角的平分 线 (2) 角平分线定理：在角平分线上的点到这个角两边的距离相等OC 是AOB 角平分线PDAO PEBO PDPE (3) 角平分线定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的 点在这个角的平分线上PDAO PEBOPDPE OC 是AOB 角平分线三、相交线 1、 对顶角 (1) 定义：一角两边是另一角两边的反向延长线，这两个角互为互为对顶角 (2) 定理：对顶角相等1234 2、 邻补角 (1) 定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长 线，这两个角互为邻补角 (2) 定理：邻补角互补13180 2318024180 14180 3、 垂线 (1) 定义：两条直线相交成直角

3、，称这两条直线垂直a 与 b 互相垂直，表示为“ab” O 为垂足 (2) 性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 且垂线段最短 已知在直线 b 外有一点 A， 则作 AOb 的直线有且只有一条4、 垂直平分线 (1) 定义：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 (2) 定理：线段垂直平分弦上的点到这条线段的两个 端点的距离相等APBP (3) 逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在 在这条线段的垂直平分弦上APBPAQBQ MN 为 AB 垂直平分线四、平行线 1、 同位角：两个角分别在两条被截线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关 系的两个角叫做

4、同位角 2、 内错角：两个角在两条被截线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的两 个角叫做内错角 3、 同旁内角：两个角在两条被截线之间，并且都在被截线的同一旁，具有这种位置关系 的两个角叫做同旁内角 4、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 表示为“” 1l2l5、 平行公理(1) 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 (2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行ab bc ac 6、 性质 (1) 两直线平行，同位角相等 121l2l(2) 两直线平行，内错角相等 231l2l(3) 两直线平行，同旁内角互补 341801l2l(4) 两条

5、平行线同垂直于一条直线ac ab bc (5) 平行线间的距离相等 7、 判定 (1) 同位角相等，两直线平行12 1l2l(2) 内错角相等，两直线平行23 1l2l(3) 同旁内角互补，两直线平行34180 1l2l(4) 同垂直一条直线的两条直线平行ab bc ac三 角 形一、三角形 1、 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形 记作“ABC” 2、 三角形的有关概念 (1) 高：从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点 在垂足间的线段叫做三角形的高AD 为ABC 的高 ADBC (2) 中线：连接三角形一个顶点和它的对边 中点的线段叫做三角形的中线AE

6、 为ABC 中线 BECE (3) 角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫 做三角形的角平分线 AF 为ABC 角平分线 BAFCAF3、 三边关系 (4) 三角形两边之和大于第三边ba c (5) 三角形两边之差小于第三边ba c4、 内角和定理：三角形的内角和为 180BACBACB180 5、 外角定理 (6) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和ACGBACB (7) 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角ACGBACACGB 6、 三角形的中位线 (1) 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半MN 为ABC 中位线

7、MNBC 21(2) 判定：连接三角形一边的中点且与三角形一边平行的线段是三角形的中位线M 为 AB 中点 MNBC MNBC 217、 三角形的面积 (1) 已知三角形两边和它们的夹角：CabBacAbcSABCsin21sin21sin21(2) 已知三角形的底和高：cBAABCchbhahS21 21 21(3) 已知三角形三边：)()(21cpbpappSABC其中)(21cbap(4) 已知三角形内切圆半径：rcbaSABC)(21其中 r 为内切圆半径(5) 已知三角形外接圆半径：rabcSABC4其中 R 为外接圆半径二、三角形的四心1、 内心（I） (1) 三角形的内切圆：与三

8、角形各边都相切的圆叫做 三角形的内切圆 (2) 定义：三角形三条内角平分线的交点叫做 三角形的内心（内切圆的圆心） (3) 性质 1) 三角形内心到三角形三边的距离相等 IDIEIF 2) 三角形的一个顶点与内心的连线平分这个角ABICBI BAICAI ACIBCI 2、 外心（O） (1) 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点 的圆叫做三角形的外接圆 (2) 定义：三角形三边的垂直平分线的交点叫做 三角形的外心（外接圆的圆心） (3) 性质 1) 三角形外心到三角形的三个顶点距离相等OAOBOC 2) 外心与三角形一边中点的连线比垂直于该边OFAB OEBC ODBC 3、 重心（G） (

9、1) 定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 (2) 性质 1) 重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一GDAB GEBE31 31GFCF312) 三角形顶点与重心的连线必过对边中点AECE AFBF BDCD 4、 垂心（H） (1) 定义：三角形三条高的交点叫做三角形的垂心 (2) 性质：三角形的一个顶点与垂心的连接线必 垂直对边ADBC BEAC CFAB 三、全等三角形 1、 定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形 表示为“ABCDEF” 2、 性质：全等三角形对应边相等，对应角相等ABDE ACDF BEEF AD BE AC 3、 判定 (1) 三边对应相等的两个三角形

10、全等ABCDEF (SSS)EFBCDFACDEAB(2) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等ABCDEF (SAS) DFACDADEAB(3) 两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ABCDEF (ASA) FCDFACDA(4) 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等ABCDEF (ASA) EFBCFCDA(5) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等RtABCRtDEF (HL) DEABDFAC 四、等腰三角形 1、 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形 2、 性质 (1) 等腰三角形有两条边相等ABAC (2) 等腰三角形两个底角相等BC (3) 等腰三

11、角形顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高相互重合（三线合一） BADCAD ADBC BDCD (4) 对称性等腰三角形是轴对称图形，对称轴是它的顶角平分线（或底边上的中线、底边 上的高）所在的直线 3、 判定 (2) 等边对等角：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等ABAC BC (3) 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等BC ABAC五、等边三角形1、 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2、 性质 (1) 具有等腰三角形的所有性质 (2) 等边三角形三边都相等ABAC ABBC ACBC (3) 等边三角形的三个内角都相等，都等于

12、 60BACBC60(4) 2 43 21aahSABC等等(5) aCABC3等等3、 判定 (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形ABAC ABBC ACBC ABC 是等边三角形 (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形BACBC60 ABC 是等边三角形 (3) 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形ABC 是等腰三角形BAC60 ABC 是等边三角形六、直角三角形 1、 定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形 2、 性质 (1) 两锐角互余 AB90 (2) 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直 角边的平方和 222bac(3) 30角所对的直角边等于斜边的一半B30 ACA

13、B21(4) 若一条直角边等于斜边的一半，则这条边所对的角等于 30ACAB B3021(5) 直角三角形的中线等于斜边的一半CE 为 RtABC 中线 CEAB21(6) caA sincbA cosbaA tan(7) 射影定理CDAB BDADCD2ADABAC2BDABBC2(8) chabSABC21 21Rt3、 判定 (1) 两个角互余的三角形是直角三角形AB90 ABC 是直角三角形 (2) 勾股定理的逆定理：斜边的平方等于两直角边的平方和的三角形是直角三角形ABC 是直角三角形222bac(3) 如果三角形的一条边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形CE 为ABC 中线CEAB ABC 是直角三角形21四 边 形一、四边形 1、 定义：不在同一条直线的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形 2、 性质 (1) 四边形的内角和为 360 (2) 四边形的外角和为 360二、平行四边形 1、 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形记作“ABCD”