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1、第八章 -矩阵自测题解答1 -矩阵一、填空 1 、 131313322；2、 21,211,122， 2 ；3、.二、解答题1.0112, 所以矩阵 11 的秩为 2.0 100121232 ，所以矩阵222211的秩为 3.2因为141212，所以 121 不可逆.110012121，所以矩阵10012121)(A可逆. 100010011100122110001000110012121 1002101110010221100010111022102212 2222222121422121100010201222212111110001000122212121111)(A3答：设)(A为n级
2、-矩阵，)(A可逆时一定满秩，因为这是 )(A的行列式为非零常数，为非零多项式；满秩时不一定可逆，因为满秩只说明行列式不是零多项式，但不一定是零次多项式（非零常数）.4 证明 因为AE 是一个n次多项式，不是零次多项式.所以AE 不 可逆. 2 -矩阵在初等变换下的标准形矩阵在初等变换下的标准形一、问答题1数字矩阵的初等变换是-矩阵的初等变换，但-矩阵的初等变换不 一定是数字矩阵的初等变换.2初等-矩阵都是可逆的.3可逆的-矩阵标准型都是单位矩阵，因此等价，反之如果两个-矩 阵等价，且其中一个可逆，那么另一个一定可逆.4一致.二、二、解答题解答题1( ),( ),( )ADH是标准形，而210
3、0( )010001B ，100( )00000C ，200( )00000G .2100100100100( )0000000100010100100B 223222222222110100( )011001000000A 3 不变因子不变因子解答 一、填空 1都是 1，都是 1；2.1，2；3. 1，2；4., r r；5.无穷 二、解答题解 1002)(A 的行列式因子为1,(1)(2)，故不变因子为1,(1)(2)，所以标准形为10 0(1)(2) ；111)(B的行列式因子4 4( )D，而有一个三级子式等于 1， 故行列式因子321( )1,( )( )1DDD，所以不变因子为41
4、,1,1,，所以标准形是41 1 1 10030011)(C的行列式因子为1,1,(1)(1)(3)，故不变因子为1,1,(1)(1)(3)，所以标准形为10001000(1)(1)(3) .证明：因为)(1nD是1n次的，( )nD是n次的故不变因子.设A为n级数字矩阵，且AE 的第1n个行列式因子证明AE 的不变因子( )nd是一次的，但12( )( )( )( )nnDddd，并且1( )|( )iidd，从而12( ),( ),( )nddd相等.3证明 容易计算( )( )Af，而其中一个1n级子式为 101 ( 1)11n ，故行列式因子为1,1,1()f( )n个，从而不 变因子
5、为)(, 1 , 1 , 1f. 4 矩阵相似的条件 一、一、填空填空 1n个；2.相似；3.正确. 二判断题二判断题 1.（F） ；2.（T）. 二、二、解答题解答题1证明 容易知道, ,A B C的不变因子为n1,1,1-a)，(，故, ,A B C相似.2解 容易计算A的不变因子为11,1,1,()ni ia ；B的不变因子为 1,1,1,()na；C的不变因子为EC的不变因子为4321,1,1,2345.3.证明：因为多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，所以BA,在数域 ,K P上的行列式因子相同，进而不变因子相同.故BA,在P上相似当且仅当在 K上相似.5 初等因子 一、填空题1
6、.21,1,1, (1) (1) ；2.22,. 二、解答题1 2121的初等因子为(1),(2),(1),(2);不变因子为 1,1,1,(1)(2)(1)(2);.200120012的不变因子为31,1,(2)，初等因子为3(2).容易计算422633211的特征多项式为2(28) ，故行列式因子2 3( )(28)D ，由于存在EA的互素的二级子式1112,33 24 ，故二级行列式因子2( )1D，从而422633211的不变因子为21,1, (28) ，初等因子为230230,22ii .3解 因为211100(1)01001001 13130011()()22ii ，所以该矩阵的初
7、等因子为21313(1) ,(),()22ii .4证明：因为EA的初等因子( )nD等于AE ，而( )nD等于全部不变 因子之积，而全部不变因子之积 等于全部初等因子之积.5证明：设1( )( )( )mh oAh oo ， 12 12( )( )( )( ),1,2,( )ijiiirkkkk irjhpppjm p为数域P上的不可约因式.首先考虑1( )p，若在-矩阵( )A矩阵中相邻的1( ),( )iihh中因式1( )p的次数11,1iikk，由北大教材的引理知道1,1211 2 111( )( )( ),( )( )( )( )( )( )iiirik ikki jrk iih
8、pggpphpg反复利用上述方法则-矩阵( )A可化为等价的-矩阵111111( )( )( )( )mkk mpgopgoo 其中112110mkkk，且是11211,mkkk的一个排列.然后用上述方法考虑( )(2, )ipin，则-矩阵( )A可化为等价的-矩阵,11121121212( )( )( )( )( )( )rmmmrkkk rkkk rppp o ppp oo 其中( )jik ip 是某一个( )jik ip.并且当0ijk 时，他们是全部的初等因子. 5 若当标准形的理论推导若当标准形的理论推导一、填空一、填空、1.2; 2.1000 0100 0110 0000 ;
9、3.2(1) ,1; 4. 000000000000 , 000 , 100000010010 ;5.100100100100010, 110, 110 ,110011001011011 6. 000100000100100 , 000 , 010 , 110010010011011 二、解答题二、解答题1解 容易计算矩阵12345 01234 00123 00012 00001A 一、二、三阶行列式因子为 1，四阶行列式因子为1，而五阶行列式因子是5(1)，所以其初等因子为4(1)，故若当标准形为1 11 11 11 2证明 由于A的约当标准形为12kJJJ ，所以A的最小多项式就是约当块1
10、2,kJ JJ的最小多项式的最小公倍式，而约当块的最小多项式是( )(1,2, )idik，从而矩阵A的最小多项式为( )kd.3因为A的约当标准形是12kJJJJ ，0 1010iJ ，从而存在可逆的矩阵P，使11AEP JPEJE. 4证明 由于A的特征值是m此单位根，因此其约当标准形为12kJJJJ ，其中11ii iiJ ，则1JP AP，于是 11()mmmJP APP A PE，从而(1,2, )m iJE is，因此iJ都是 1 级的，即 J为对角矩阵. 测试题测试题解答解答1解 （1）由于EA是A的特征多项式，所以不为 0，故EA的秩 等于 3.（2）行列式因子为2 123(
11、)1,( )1,( )(1)DDD ，不变因子为2 123( )1,( )1,( )(1)ddd ，初等因子为2,(1) ，EA的标准形为211(1) （3）约当标准形为000010011 . 2证明 由于最小多项式是最后一个不变因子，而特征多项式是所有不变因子的乘积，在利用不变因子的关系，直接得到( )|( )nfg.3解 因为矩阵A的秩是 1 因此其若当标准型为1000000000000000 ，因此A的不变因子与10000000000000 的不变因此完全相同，显然其不变因子为1, , , (1) ，故2 1n nD .EA的标准形为1(1) 4.证明：设A的约当标准形为12kJJJJ ，其中11iiiiJ ， 且1JP AP，于是
