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1、预备知识预备知识设为概率测度空间,PF F(一) 随机变量的概率测度积分定义 1.0.0 (1) 若简单随机变量,其中(或)为的一个剖A 1ini iXa I12A ,A ,Ann n 分,若存在,则称该值为在概率测度空间上的积分,记1Anii ia PX,PF F. (1.0.1)1Anii iXdPa P(2) 若为非负可测随机变量,且非负简单随机变量列满足XA 1|0,1kininkkn iXXa Ik,若存在,则称该极限为在概率测度空间上的积分,记kXXlimkkX dP X,P F. (1.0.2)limkkXdPX dP (3) 若为可测随机变量,设,若存在,则称X00,XXXXI
2、XXI XXXX dPX dP该值为在概率测度空间上的积分,记X,PF F. (1.0.3)XdPX dPX dP注: 10 , E XXdP20 设. R,R ,RP XxF xx F FB B若离散型随机变量分布律为,则;X,1iP Xxi E XXdP1ii ix P Xx若连续型随机变量的概率密度为,则.X yf x RE Xxf x dx40 AA AE I XI XdPXdP(二) 随机积分1.随机积分定义 1.0.1 设、(,或)为随机过程,令tXtY0,tTT T 1inni iIXY 其中. 01111,niiiiiiiiissassst sssssYYY 若 存在,则称该极
3、限为的关于随机积分.记为1max001limlim iii nnnisiIXY .satXtY,. (1.0.4)ttss aX dY0,tT2. Lebesgue 积分定义 1.0.2 设为随机过程,则(1.0.4)为tX,0ta babtYt0,tTttss aX dY01lim ini iXs 若 存在,则称该极限为的 Lebesgue 积分.记为 01lim ini iXs .satX. (1.0.5)tts aYX ds3. Ito 积分定义 1.0.3 在域流的概率空间上的一个-值-适应的随机过程()称 0,ttPF FF FR 0ttF Ftw0t 为标准的始于 0 的一维 Br
4、own 运动(简称标准的 Brown 运动),若满足tw(1) 00w (2) ,在上连续; w:0,T(3) 对,均有; ,0t t0,ttttwwwNt:(4) 对,均有与独立,即对及,均有 ,0t tttttwwwtF FaR AtF F AAttPwaPwaP注: 若服从标准的 Brown 运动,则tw10增量具有平稳性,即与分布相同,记ttttwwwttttwww00,tttwwwwNt:为.d tttttwwww20 具有独立增量,即对,相互独立.事实tw1001,2,ktttk1|1iiittwwwik 上:对,均有,又与独立,则1001,2,ktttk111kii iktwxF
5、 Fkw1ktF F111kkiiiikk iiPwxPwxwx11kiikk iPwxPwx. 21111kkiikkkkiiiiPwxPwxPwxPwx 30 对,均有0ts (1.0.6)2222|0;|.tsststsstst st st sE wwE wwEwwEwwE wD wE wts独立性独立性平稳性F FF F从而得到 222222222|;|2|2|0.tsstsstsstssstssstssst sstE wwwPE wtwtEwwwwwwtEwww E wwwtEwwswt tP :线性性是鞅是鞅F FF FF FF FF F(这是因为: 若关于-域可测随机变量与(是的
6、-子域)独立,则有F FE E E EF F.事实上: 对,与独立.又 EE E EAAcF FF FAI故,A,0;A ,01;,1.cbIbbb AAPaIbPa P Ib所以与独立; 对,AIAF F AA AAAEdPdPEIEE IEdPE E所以,) EE E E40 若,记,则当时,2(), ()0, ;fgT R F FL tww t0tls (1.0.7)( )( )0stlEfd F F(1.0.8)( )( )( )( )( ) ( )sssttlllEgdfdEgfd F FF F(事实上,令010;ntlttts 11( )(),1,2,iiiiiiww tw ttt
7、tin 1 11()( )|nniijjt ijEftgt :F F 2 1111 ,11()()( )()() ()nnijijiiit i ji ijEftgttgtft :F F11 ,1()()( )|nijijt i j ijEftgtt :F F 2 11 1()() () |niiit iE gtft :F F1111max, ,1()()( )| ijnijijttt i j ijE Eftgtt :F FF F 12 11 1()() () | iniiitt iE E gtft :F FF F 1111min,max, max, ,1()() ijijijnijtt ttt
8、tt i j ijEftgtE :F FF F 12 11 1()()() | iniiitt iE gtftE :F FF F (1.0.6)1111 11()()|()()|nniiitiiit iiE gtfttEgtftt F FF F则( )( )( )( )sstllEgdfd F F 1max011lim()( )inniijjttijEftgt :F F 1max011lim()( )inniijjttijEftgt :F F 11max01lim()()iniiittiEgtftt F F) 11max01lim()()iniiittiEgtftt F F( ) ( )stl
9、EgfdF F推论推论 . (1.0.9)2 2( )( )( ),0ssttllEfdEfdtls F FF F定义 1.0.4 设是二阶矩过程(若对每一个,二阶矩均存在,则称|0,tXtT0,tT 2E Xt随机过程为二阶矩过程二阶矩过程), (,或)为一维 Brown 运动,若存 |X ttTtw0,tTT T tss aX dw在, 则称,. (1.0.10)ttss aX dw0,tT为关于的Ito 积分.tXtW(三) Ito 过程和 Ito 引理1. Ito 过程(1) 设 d 维随机变量取值于 Rd . 1,Tdtw twtw设服从 d 维正态分布,其中, tw,ttN 1 ,
10、ttt d 2 11212112 212122322 1122covddd tdddddtttttttttttttttttttttt w 2,;, ,0 ,.i ijijijjijd d ijijtijttttt tttij 则, 连续型 d 维随机变量的概率密度为 tw; 1, 1 111,exp22dtxxT wdtttdtfxx x xx ; 2,1,itiiw tNtid : 为与的相关系数,; ijt iw t jwtij 为对角矩阵,相互独立;t 0ijtij 1,dw twt(2) 标准的始于 0 的维 Brown 运动.d定义 1.0.4 称()维随机过程(,或)服从标准d2d 1,Tdtw twtw0,tTT T 的始于 0 的维 Brown 运动(简称标准的维 Brown 运动),若满足ddtw(1) 具有独立增量,即
