《《线性代数》学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《线性代数》学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一内容提要内容提要1 1 . . 特征值和特征向量特征值和特征向量定义定义 1 1 设是数域 P 上的 n 阶矩阵，若对于数域 P 中的数，存在数域 P ijn nAa上的非零 n 维列向量 X，使得 XAX 则称为矩阵 A 的特征值，称 X 为矩阵 A 属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵； ijn nAa2）特征向量 X 是非零列向量；3）方阵 与特征值 对应的特征向量不唯一 ijn nAa4）一个特征向量只能属于一个特征值. 2 2特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的计算计算矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤为：
2、（1） 计算 n 阶矩阵 A 的特征多项式EA；（2） 求出特征方程EA的全部根，它们就是矩阵 A 的全部特征值；（3） 设1 ，2 ， ，s 是 A 的全部互异特征值。 对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是 A 属于特征()iEA X值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是 A 属于特征值i的全体特征向量. 3 3 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质性质性质 1 1 （1）若 X 是矩阵 A 属于特征值的特征向量，则 kX（）也是 A 属于的特0k 征向量；（2）若是矩阵 A 属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组12,sXXX
3、L合也是 A 属于的特征向量；1122ssk Xk Xk XL（3）若 A 是可逆矩阵，是 A 的一个特征值，则是 A1的一个特征值，1是 A*的一个特征值；| A（4）设是 n 阶矩阵 A 的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + + a1x + a0为一个多项式，则是 f（A）的一个特征值。( )f性质性质 2 2（1） nnnaaa 2211212（2） | 21An 性质性质 3 3 n 阶矩阵 A 和它的转置矩阵有相同的特征值TA性质性质 4 4 n 阶矩阵 A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关 4.4. 相似矩阵相似矩阵定义定义 2 2 设 A、B 为 n
4、阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，使得P1P则称 A 与 B 相似。记作 AB. 并称 P 为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1 反身性：AA. 2 对称性：若 A，则A. 3 传递性：若 A，B 则 A. 5 5矩阵相似的性质矩阵相似的性质：设 A、B 为 n 阶矩阵，若 AB，则（1） ；AB（2） ； ( )( )R AR B（3）A、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A，B 或者都可逆或者都不可逆. 当 A，B 都可逆时，； 1A1B（5）设 f（x）= amxm + am-1xm-1 + + a1x + a0 为一个多项式，则 f（A） f（B） ； 6 6n
5、 n 阶矩阵阶矩阵 A A 相似对角化的条件相似对角化的条件（1）n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.（2）n 阶矩阵 A 与对角阵相似的充要条件是 A 的每个 k 重特征值恰好对应有 k 个线性无关的特征向量. 注注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身 （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。7 7n n 阶矩阵阶矩阵 A A 相似对角化的方法相似对角化的方法（1）解特征方程，求出的全部特征值，设是重根0EAA12,s Liin(1,2,)isL（2）对每个特征值，解
6、齐次线性方程组，求得基础解系i()0iEA X；12, iiiinXXXL（3）令可逆矩阵 则 1211121,21222,12(,) snnsssnPXXXXXXXXXLLLL3111ssP AP OO8.8.实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量8.8.1 1 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量的性质（1）实对称矩阵的特征值都是实数（2）实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的（3）对于任意一个 n 阶实对称矩阵 A，都存在一个 n 阶正交矩阵 Q，使得为对角阵1TQ AQQ AQ8.28.2 用正交变换法化实对称阵为对角阵的步骤用正交变换
7、法化实对称阵为对角阵的步骤 1） 解特征方程求出对称阵的全部的特征值（根） ，设是0AEA12,s Li重根；in(1,2,)isL2）对每个特征值，解齐次线性方程组，求得基础解系i()0iEA X12, iiiinXXXL3）将基础解系正交单位化，得正交 单位向量组12, iiiinXXXL12, iiiin L4）令可逆矩阵 1211121,21222,12(,) snnsssnQLLLL则 111TssQ AQQ AQ OO二二重点难点重点难点 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值与特征向量的定义、性质与求法；矩阵的特征值与迹、矩阵行列式的关系. 2 相似矩阵与矩阵对角化 矩阵对角化的必要
8、条件与充分条件；矩阵对角化的判定与对角化的方法；矩阵对角化 的应用. 3 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，实对称矩阵正交相似于对角阵的化法.4三学习要求三学习要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.掌握实对称阵化为正交相似对角阵的方法.四典型题分析四典型题分析 例例 1 1 设 A 是四阶矩阵，已知则 A 的伴随矩阵的一个特30,2 ,0.TEAAAE A*
9、A征值是_分析分析：考虑根据可得 A 的一个特征值，再根据 A 与其伴随矩阵的关系即可30EA*A求解.解解 由于，于是有是 A 的一个特征值.30EA3 又由于22 ,0,164TAAE AAA 所以易知 由，所以是 A 的一个特征值，则是的特征值，因此的*AAA E3 A*A*A一个特征值是4 3A 例例 2 2 已知三阶矩阵 A=有三个线性无关的特征向量，则参数=_001 10 100x x分析分析 三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，则 A 可以对角化，可通过先求特征根中的重根再代入即可求得x解解 矩阵 A 的特征多项式为201 10(1)(1) 10EAx 解得矩阵 A 的特征值
10、为1231,1 因为 A 有个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，则其二重根有两个线性无1关的特征向量。于是，对作初等变换，有(1)321R AE 1AE 510110100001010000AExxx 解得 例 设矩阵 A、B 均为阶矩阵，则矩阵 A 与 B 相似的充分条件是：n(A)A 与 B 有相同的特征值.(B)A 与 B 有相同的特征向量.(C)A 与 B 和同一矩阵相似.(D)与相似.kAkB 分析分析 A 与 B 有相同的特征值不一定相似，因为不一定能找到可逆矩阵，使P1P APB（ B） 显然，易举反例（C）由相似的传递性可知正确（D）举反例：设 显然相似，0011,00
11、11AB220,0AB22AB与但是矩阵 A 与 B 不相似解解 选(A)例 4 设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值1 563 10ac A ca 1A A*A，属于的一个特征向量为，求的值 .00( 1, 1,1)T 0, , ,a b c分析分析 本题可根据特征值和特征向量的定义求得未知参数.解解 根据题设可得：* 0A 两边同时左乘得 ： 即A* 0AAA 00A EAA 所以有0111 5311 1011ac b ca 由此可得：000(1)1( 53)1( 1)1acbca 解得：601,3,bac 由于 又得：1,Aac 2ac因此：01,3,2bac 例 5：设矩阵 ，已
12、知有 3 个线性无关的特征向量，是的二111 4 335Axy A2A重特征值，试求可逆矩阵，使得为对角阵.P1P AP分析分析 根据有 3 个线性无关的特征向量，是的二重特征值，代入，即可A2AEA求出中未知参数。A解解 因为有 3 个线性无关的特征向量，是的二重特征值，所以的属于的A2AA2线性无关的特征向量必有 2 个 ，故秩 (2)1REA即：111111 202 333000xyxxy 于是解得：2,2xy 矩阵 先求的特征值：111 242 335A A2111 242(6)(2) 335AE 2111111 2222000 333000AE 将代入特征矩阵得：1211 10 01
13、 解得：7365111106222001331000123AE 将代入：解得：最后解得可逆矩阵：11112 102 ,20136PP AP 例例 6 6设阶矩阵n.111LMMMLLbbbbbbA() 求的特征值和特征向量;A() 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.PAPP1解解 () 当时，o10b111|bbbbbbAELMMMMLL ,1)1 () 1(1nbbn得的特征值为，Abn) 1(11bn12L对，bn) 1(11bnbbbbnbbbbnAE) 1() 1() 1(1LMMMLL) 1(111) 1(111) 1(nnnLMMMLL80000111111111111LLMMMMLLnnn123nrrrrLuuuuuuuuuuuuuuuuuu u r0000111111111111LLMMMMLLnnn000000
