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1、随机过程与排队论计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：*计算机科学与工程学院 顾小丰上一讲内容回顾 生灭过程 排队论简介 排队的概念 基本的排队系统 排队系统的基本组成 经典排队系统的符号表示方法402*计算机科学与工程学院 顾小丰本讲主要内容 无限源的简单排队系统M/M/1/问题的引入队长等待时间与逗留时间Little公式忙期输出过程403*计算机科学与工程学院 顾小丰5.1 M/M/1/问题的叙述v 顾客到达为参数(0)的泊松过程，即相继到达的间隔时间序列n，n1独立、服从参数为(0)的负指数分布F(t)1-e-t，t0；v 顾客所需的服务时间序列n,n1独立、服从参数为(0)的负指数
2、分布G(t)1-e-t，t0；v 系统中只有一个服务台；v 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此独立。404*计算机科学与工程学院 顾小丰2.队长假定N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，包括正在被服 务的顾客数，即N(t)表示时刻t系统的队长，t0，且令pij(t)PN(t+t)j|N(t)i，i,j0,1,2,则 1)pi,i+1(t)P在t内到达一个而服务未完成 在t内到达j个而服务完j-1个P1t，1t 1+jtt，1t 1+jt0时，有Wq(t)PWq=0P00) 的随机变量，即参数为的泊松流。 当系统空闲后，从开始空闲时刻起，到下一个顾客服 务完毕离去时之间的间隔时间不与服务时间
3、同分布。令Tn+表示第n个顾客服务完毕的离去时刻，则 Tn+1+-Tn+表示离去的时间间隔，n1，于是，对t0有PTn+1+Tn+t PNn+=0PTn+1+Tn+t|Nn+=0 PNn+1PTn+1+Tn+t|Nn+1 PNn+=0Pn+1n+1t PNn+1Pn+1t 其中n+1表示剩余到达间隔时间，与n+1独立，而Nn+表示 第n个离去顾客服务完毕离开系统时的队长。4023*计算机科学与工程学院 顾小丰输出过程(续)因此由于此式表示在统计平衡下，相继输出的间隔时间服从参数为 （0）的负指数分布。另外，在统计平衡下，输出的间隔时间相互独立，因 此对M/M/1/系统，其统计平衡下的输出过程与
4、到达过程 相同。4024*计算机科学与工程学院 顾小丰例1某火车站一个售票窗口，若到达该窗口购票的 顾客按泊松流到达，平均每分钟到达1人，假定售 票时间服从负指数分布，平均每分钟可售2人，试 研究该售票窗口前的排队情况。 解 由题设知，1(人/分)，2(人/分)， ，该系统按M/M/1/型处理，于是在统计平衡下，有平均队长为(人)平均等待队长为(人)4025*计算机科学与工程学院 顾小丰例1(续)平均等待时间为(分钟)平均逗留时间为(分钟)顾客到达不需要等待的概率为等待队长超过5人的概率为4026*计算机科学与工程学院 顾小丰例2考虑某种产品的库存问题。如果进货过多，则会带来过多的保管费，如果
5、存货不足，则缺货时影响生产，造成经济损失。最好的办法是能及时供应，但由于生产和运输等方面的因素，一般讲这是难以满足的，因此希望找到一种合理的库存s，使得库存费与缺货损失费的总和达到最小。假定需求是参数的泊松流，生产是一个一个产品生产的，每生产一个产品所需时间为参数的负指数分布。库存一个产品的单位时间费用为c元，缺一个产品造成的损失费为h元，寻找一个最优库存量s，使得库存费与损失费之和达到最小（不考虑产品的运输时间）。4027*计算机科学与工程学院 顾小丰例2(续1)解 把生产产品的工厂看成是服务机构，需求看作是输入流，于是把问题化成M/M/1/系统，需求量表示队长，pk 表示生产厂有k个订货未
6、交的概率。设库存量为s，则缺货时的平均缺货数为平均库存数为4028*计算机科学与工程学院 顾小丰例2(续2)单位时间的期望总费用为用边际分析法解上式，使上式最小的s应满足 f(s-1)f(s)， f(s+1)f(s)，于是由f(s+1)f(s)得，于是由f(s-1)f(s)得因此取最佳s*为最靠近的正整数即可。4029*计算机科学与工程学院 顾小丰例3设船按泊松流进港口，平均每天到达2条，装卸时间服从负指数分布，平均每天装卸3条船，求：1) 平均等待对长与平均等待时间； 2) 如果船在港口的停留时间超过一个值t0就要罚款，求遭罚款的概率； 3) 若每超过一天罚款c元，提前一天奖励b元。假定服
7、务费与服务率成正比，每天h元，装卸一条船收入a 元，求使港口每天收入最大的服务率*的值。4030*计算机科学与工程学院 顾小丰例3(续1)解 由题设知， 2(条/天)，3(条/天)， ，该系统按M/M/1/型处理。1) 平均等待对长为(条船)平均等待时间为(天)2) 由于遭到罚款当且仅当船在港口的逗留时间超过t0，所以遭到罚款的概率为3) 从费用方面考虑，每天装卸完条船收入a元，每天服 务费为h元。4031*计算机科学与工程学院 顾小丰例3(续2)平均提前完成时间为平均延后时间为所以，港口一天的总收入为4032*计算机科学与工程学院 顾小丰例3(续3)对f求导得讨论：1) bc时，2) bc时
8、，由于 的符号在时完全由括号内的两项决定。令4033*计算机科学与工程学院 顾小丰例3(续4)由上图看出，y1与y2两曲线有唯一交点，其横坐标为*，b (b-c)*yy2y1且*唯一存在、有限，4034*计算机科学与工程学院 顾小丰例3(续5)b(b-c)*yy2y13)bc时，由下图看出，y1与y2两曲线仍有唯一交点，其横坐标为*，且*唯一存在、有限，4035*计算机科学与工程学院 顾小丰例4设顾客到达为泊松流，平均每小时到达个顾 客是已知的。一个顾客在系统内逗留每小时损失c1 元，服务机构的费用正比于服务率，每小时每位 顾客的费用为c2元。假定服务时间为参数的负指 数分布，求最佳服务率*，
9、使得整个系统总费用 最少。解 平均对长 每小时顾客的平均损失费为 元 4036*计算机科学与工程学院 顾小丰例4(续)每小时服务机构的平均费用为c2元，单位时间内平均总费用为由得因为所以最佳服务率为*，此时4037*计算机科学与工程学院 顾小丰本讲主要内容 无限源的简单排队系统M/M/1/问题的引入队长等待时间与逗留时间Little公式忙期输出过程4038*计算机科学与工程学院 顾小丰下一讲内容预告 具有可变输入率的M/M/1/ 问题的引入 队长 等待时间与逗留时间 Little公式 具有可变服务率的M/M/1/问题的引入 队长 等待时间与逗留时间4039*计算机科学与工程学院 顾小丰病人以每小时3人的泊松流到达医院， 假设该医院只有一个医生服务，他的服务 时间服从负指数分布，并且平均服务一个 顾客时间为15分钟。a)医生空闲时间的比例？ b)有多少病人等待看医生？ c)病人的平均等待时间？ d)一个病人等待超过一个小时的概率？本节习题4040
