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1、第九章 分支限界法,9.1分支限界法的基本思想,1、分支限界法与回溯法的不同 （1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。,2. 分支限界法基本思想 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，
2、导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。,9.1分支限界法的基本思想,3. 常见的两种分支限界法（1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。 （2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。,9.1分支限界法的基本思想,四皇后问题的状态空间树,四皇后问题的状态空间树（FIFO）,0-1背包问题分枝限界算法思路：,如n=3,M=35,W=(11,2
3、1,23),P=(21,31,33)按FIFO方式从活动结点表中选A-结点进行扩展，其搜索过程为：,12,33,4,54,5,6,75,6,76,7710为最优解，bestP=54,解为(1,0,1).,n=3,M=35,W=(11,21,23),P=(21,31,33),优先队列策略：,12,33,4,53,536,7710为最优解，bestP=54,解为(1,0,1).,n=3,M=35,W=(11,21,23),P=(21,31,33),分枝限界算法有利于提高算法效率的两个特点：,该算法首先扩展上层结点，采用智能化的限界函数，有利于大范围地剪枝；该算法处理活动结点时，只经过一次扩展即列出
4、所有子结点，而回溯算法每次只扩展一个子结点，遍历的路径较长。所以效率较高。较高的效率是以付出一定代价为基础的。对状态结点的处理是跳跃式的。算法要维护一个“活动结点表”。需占用较多的空间,6.2单源最短路径问题,1. 问题描述,下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。,下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。,6.2单源最短路径问题,2. 算法思想 解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优
5、先级是结点所对应的当前路长。 算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。,6.2单源最短路径问题,3. 剪枝策略 在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。 在算法中，利用结点间的控制关系进
6、行剪枝。从源顶点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路径的路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去。,6.2单源最短路径问题,while (true) / 搜索问题的解空间 for (int j=1;j=n-1;j+) if(aenode.ij Float.MAX_VALUE & enode.length+aenode.ij distj) / 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束 distj=enode.length+aenode.ij; pj=enode.i; HeapNode node = new HeapNode(j,distj); heap.put(n
7、ode); / 加入活结点优先队列 if (heap.isEmpty() break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); ,顶点i和j间有边，且此路径长小于原先从原点到j的路径长,优先队列：每个队列元素代表一个结点，每个结点有两个数据变量， i：结点编号；length：s到i的最短路径。初始时：只有一个队列元素：（0，0）Dist(j):s到j的最短路径; pj:最短路径上j之前的节点。,6.3 最小耗费搜索,1.问题描述,设x是所有可行解集合A中的一个可行解,D(x)是找到x所需要的耗费（如：当这个耗费与该解在T中的深度成正比时，可以定义D(
8、x)等于x的深度），要求找到一个可行解x*,使得D(x*)=minD(x) (xA)。用一个称为最小耗费搜索的算法来求x*。为此要在解空间树上构造一个耗费函数C(x),即对解空间树T上的任一状态结点x，定义： minD(y) 当TxA C(x)= yATx 当TxA其中Tx是以x为根的子树。,6.3 最小耗费搜索,C(x)具有以下意义的单调性：当y是x的子孙时有C(x)C(y),因此，在从T的根到最小耗费解x*的路上的每一个状态结点x都有C(x)=D(x*)=minD(y).,问题分析：在从根结点出发的搜索过程中，每搜索完一个扩展结点的所有子结点，都用该结点的耗费值作为优先级度量，将所有的活结
9、点组织成一个优先队列，并令优先级别最高的结点作为下一个扩展结点继续同样的搜索，很快就可以找到x*，因为照这样搜索，所沿的正是从根到x*的路径。但这种设想实际行不通。,按照耗费函数C(x)的定义，当激活状态结点时，C(x)无法即时计算，除非它是最终的可行解的结点。我们用一个可以即时计算的估值函数C(x)来代替C(x),仍按以上设想的最小耗费搜索算法来求解。使求得的解x是x*的一个近似解，若C(x)构造的好，可使x=x*。,例：15谜问题。44方格，15个数字，将给定初态变成目标状态，移动规则：每次只能在空格的上下左右4个位置任选一个移入空格。,初始态 目标态,问题分析：构造估值函数C(x).取C
10、(x)f(x)+g(x).其中：f(x)是从根到结点x的路径长，g(x)是15个数字中还没有到达相应目标位置的数字的个数。C(x)是C(x)的下界，且当x达到目标状态时有C(x)=C(x).计算过程：C(2)1+4 ， C(3)1+4 ， C(4)1+2 ， C(5)1+4 ，比较，下一扩展结点应取4又有： C(10)2+1 ， C(11)2+3 ， C(12)2+3,比较，下一扩展结点应取10搜索22，23。结点23达到目标状态，搜索结束。,算法： int LC(T,C) create(Q); 计算C(T); insert(T,Q); while(! Empty(Q) e=deletemin
11、(Q); if(e是可行解) 输出从T到e的逆路径； return 1; while(x=e的下一个孩子结点NULL） if(x满足约束条件） 计算C(T); insert(T,Q); x.parent=e; return 0;,算法评估：用关于C(x)的最小耗费搜索能正确地找到关于C(x)的最小耗费解的充分条件是：1、C(x)具有单调性;2、对于任意的结点x,有C(x)C(x);3、在可行解结点处有C(x)=C(x)。,6.3 装载问题,1. 问题描述,有一批共个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集装箱i的重量为Wi，且,装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱
12、装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。,容易证明：如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。 (1)首先将第一艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。,2. 队列式分支限界法,在算法的while循环中，首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点。如果是则将其加入到活结点队列中。然后将其右儿子结点加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点)。2个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。 活结点队列中的队首元素被取出作为当前扩展结点，由于队列中每一层结点之后都有一个尾部标记-1，故在取队首元素时，活结点队列一定不空。当取出的元素是-1时，再判断当前队列是否
13、为空。如果队列非空，则将尾部标记-1加入活结点队列，算法开始处理下一层的活结点。,while (true) / 检查左儿子结点 if (Ew + wi = c) / xi = 1 EnQueue(Q, Ew + wi, bestw, i, n); / 右儿子结点总是可行的 EnQueue(Q, Ew, bestw, i, n); / xi = 0 Q.Delete(Ew); / 取下一扩展结点 if (Ew = -1) / 同层结点尾部 if (Q.IsEmpty() return bestw; Q.Add(-1); / 同层结点尾部标志 Q.Delete(Ew); / 取下一扩展结点 i+;
14、 / 进入下一层 ,3. 算法的改进,节点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解；ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装上船。,另外，为了确保右子树成功剪枝，应该在算法每一次进入左子树的时候更新bestw的值。,/ 检查左儿子结点 Type wt = Ew + wi; / 左儿子结点的重量 if (wt bestw) bestw = wt; / 加入活结点队列 if (i bestw & i n) Q.Add(Ew); / 可能含最优解 Q.Delete(Ew); / 取下一扩展结点,
