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1、1云南师范大学云南师范大学云南师范大学云南师范大学课程统一课程统一课程统一课程统一考试考试考试考试试卷参考答案及评分标准试卷参考答案及评分标准试卷参考答案及评分标准试卷参考答案及评分标准课程名称： 偏微分方程偏微分方程考试班级：_ 2008 级试卷编号:A命题教师签名：_化存才_2011 年 12 月 23 日一一 填空题（每空填空题（每空 2 2 2 2 分，共分，共 20202020 分）分）1.偏微分方程的解是指： 使得偏微分方程成为恒等式的函数 。2. 偏微分方程定解问题的适定性是指：解的存在性，解的惟一性和解的稳定性。320(0)ttxxuc uxl=解：将vxxx=)(,cos)(
2、代入 DAlembert，有：(3 分)vtatxdvaatxatxtxuatxatx+=+=+coscos21)cos()cos(21),(7 分)四四 计算题计算题(20(20 分分) )：求解下列混合问题：求解下列混合问题：4,(0,0)( ,0),(0) (0, )( , )0txxuuxl tu xAxl utu l t= =。或者0 40XX TT += +=(3 分)从而得到4cossintXAxBxTCe=+=(1 分)4( , )( ) ( )(cossin)tu x tX x T tAxBx e=+(1 分)(2)由齐次边界条件求其中两个系数，得到系列解：由0|0=xu得：
3、40tAe=，故有：0=A(1 分)再由|0x lu=得：4sin0tBle=，故有sin0l=，从而lk=，222k l=，, 2, 1=k(3 分)4此时得到系列解：24( , )sink t kkkkk xux tX TB el=(1 分)(3)再由初始条件求出另外两个系数：由迭加原理得方程有 Fourier 级数解为：2411( , )( , )sink t kk kkk xu x tux tB el =(3 分)代入初始条件0|tuA=得到：1( ,0)sink kk xu xBAl=(2 分)从而得 Fourier 系数：()0022sincos0,2221 cos1 ( 1)4,
4、21llkkk xAk xBAdxllklknAAkAkkknk = = =(3 分)最后，得到所求混合问题的解为:24(21)14( , )sin(21)(21)ntnAu x tenxn =(2 分)五五. .证明题证明题( (1010 分分) )：试证明试证明 FourierFourier 变换公式：变换公式：0 0 () ( )i xF f xxF f x e=。证明证明：根据 F 变换的定义，有：(2 分)()()()()(000000xfFedfeedfedxfexxfFxiixixiixi+=+=(8 分)六六. . 计算题计算题(10(10 分分) )：弦振动方程弦振动方程02=xxttuau属于哪一种类型？通过属于哪一种类型？通过化简化简求出求出其通解其通解. . . .解: 对于弦振动方程02=xxttuau因为222 12112200,aa aa =+所以方程为双曲型的。(3 分)5由于弦振动方程的特征线族为12,xatcxatc+=故作变换atxatx=+=,可将原方程化为如下标准型:2 0.u = (3 分)因此,如令=uv,则有:0= v,故求得)(fv=,其中f是的任意函数.又由)(fu=(2 分)关于积分,而视为参变量,则得原弦振动方程的通解为:)()()()(atxatxdfu+=+=其中df=)()(.(2 分)
