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1、第 3 章 随机向量练习题 1、设一个袋子中装有 3 个红色、2 个白色、3 个蓝色球，从袋中任取两个球，记 X 为取到的红球数，Y 为取到的白球数，求（1） （X，Y）的联合分布； （2）关于 X、Y 的边缘分布律。 （1） 2 , 1 , 0,),(2 82 323 jiCCCCjYiXPjiji（2） X 0 1 2 PX 10 / 28 15 / 28 3 / 28 2、 将一枚均匀的硬币连续掷三次， 以随机变量 X 表示三次中出现正面的次数， 随机变量 Y 表示三次中出现正面的次数与反面的次数的差的绝对值，求随机向量（X，Y）的联合分布以及关于X、Y 的边缘分布。 并判断 X 与 Y
2、 的独立性。 不独立 3、将一枚均匀的骰子掷两次，记 X 为掷出的偶数点的次数，Y 为掷出 3 点或 6 点的次数。求（1） （X，Y）的联合分布； （2）X 与 Y 是否相互独立； （3）Z = X Y 的分布列和分布函数。 （1） Y X 0 1 2 0 1 2 3 / 28 9 / 28 3 / 28 6 / 28 6 / 28 0 1 / 28 0 0 Y X 1 3 0 1 2 3 0 3 / 8 3 / 8 0 1 / 8 0 0 1 / 8 X 0 1 2 3 PX 1 / 8 3 / 8 3 / 8 1 / 8 Y 1 3 PY 3 / 4 1 / 4 Y 0 1 3 PY 1
3、5 / 28 12 / 28 1 / 28 （2）相互独立； （3） 221100112219/89/536/736/10)(zzzzzzzFZ 4、设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数 31p的（ 0 1 ） 分布，求随机变量 Z = max ( X , Y ) 的分布律. Z 0 1 P 4 / 9 5 / 9 5、 设随机变量 X 与 Y 相互独立、 同分布， P ( X = i ) = 1 / 3， i = 1， 2， 3。 又设 = max ( X , Y )， = min ( X , Y )。 （1）写出（，）的联合分布列，并判断 与 的独立性； （2）计算概率 P X +
4、 Y 3 。 （1） 不独立； （2） 1 / 3 。 Y X 0 1 2 0 1 2 1 / 9 2 / 9 1 / 9 1 / 9 2 / 9 1 / 9 1 / 36 1 / 18 1 / 36 Z 2 1 0 1 2 PZ 1 / 36 1 / 6 13 / 36 1 / 3 1 / 9 1 2 3 1 2 3 1 / 9 2 / 9 2 / 9 0 1 / 9 2 / 9 0 0 1 / 9 6、设二维离散型随机变量的联合分布为 求（1）X、Y 的边缘分布； 、 （2）cov ( X , Y ) ； （3）P ( Y = 1 X 0，P ( B A ) = 1 / 3，P ( A B
5、 ) = 1 / 6，又令设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，随机变量 kYkYXk,1,0，k = 1 , 2 . 求（1）随机向量 ( X1 , X2 ）的概率分布与边缘概率分布； （2）X1 = 0 的条件下，X2 的条件概率分布和条件数学期望； （3）随机向量 ( X1 , X2 ）的协方差矩阵； （4）判断随机变量 X1 与 X2 的独立性，说明理由 . （1） （2） E X2 X1 = 0 = 1 e1 （3） 42323221eeeeeeeeV ； （4）不独立 13、已知随机变量 X 与 Y 的联合分布列为 )3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1()4416(36
6、1),(yxxyyxyYxXP， （1）求出 X 与 Y 的边缘分布列； （2）试问：X 与 Y 是否相互独立？ Y X 1 2 0 1 2 2 / 9 0 1 / 9 2 / 9 4 / 9 0 X2 X1 0 1 1X ip0 1 e2 0 e1 e2 1 e1 e1 1 e1 2X jpe2 1 e2 X2 0 1 P ( X2 = k X1 = 0 ) e1 / 2 1 e1 （ （1）)3 , 2 , 1(61 32)(xxxXP，)3 , 2 , 1(61 32)(yyyYP； （2）相互独立 ） 14、设方程 x2 + Bx + C = 0 中的 B、C 分别表示连续掷均匀的骰子
7、先、后出现的点数，求此方程有重根的概率。 （ 1 / 18 ） 15、设随机变量 X 、Y 相互独立，X N ( 1 , 5 )，Y N ( 0 , 5 )，求 P ( 4 3 ) ； （2）P ( 1 2 ) 。 （ （1）23 / 28 ； （2）19 / 70 ） 20、 设随机变量 X 与 Y 独立， X 在 （0， 2） 上服从均匀分布， Y 的密度为 000)(yyeyfy，求（1）P ( 1 1 。 （ （1）( 1 e2 ) / 2 ； （2）1 1 / 2e ） 21、设（X，Y） 其它100),(yxbyaxyxf ，且 52EXY，求（1）a，b 的值； （2）概率 P
8、( X + Y 1 ) 的值 。 （ （1）a = 6，b = 0 ； （2）1 / 4 ） 22、设（X，Y）服从区域 D = ( x , y ) ：x 0 , 0 y 2 2x 上的均匀分布，求： （1） （X，Y）的联合分布密度及关于 X、Y 的边缘分布密度； （2）计算 P ( Y X ) 。 （ （1） 其它Dyxyxf),(01),( ， 其它10022)(xxxfX ， 其它02021)(yy yfY ；（2）2 / 3 ） 23、设（X，Y）的联合密度函数 其它0, 00),()1(yxcxeyxfyx，求（1）常数 c； （2）判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立。 （ （
9、1）1； （2）不独立 ） 24、设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度为 其它1, 1002),(yxxyxf ， 求（1）X、Y 的边缘分布； （2）X、Y 是否独立，是否相关？（3） （X，Y）的协差阵 V。 （ （1） 其它100)1 (2)(xxxfX ， 其它0102)(yyyfY ； （2）不独立，相关； （3） 18/136/1 36/118/1V ） 25、设（X，Y）的联合分布函数为 其它0, 001),()2(2yxeeeyxFyxyx， 求（1）随机变量 X 和 Y 的边缘密度函数； （2）判断 X 与 Y 的独立性及相关性。 （ （1） 000)(xxexfxX，
10、0002)(2yyeyfyY； （2）独立，不相关 ） 26、设随机向量（X，Y）的概率密度为 其它0, 00),()43(yxceyxfyx ，试求（1）常数 c；（2）概率 P ( X 0）时，随机变量Y 服从区间 （0， x） 上的均匀分布， 试求 X 与 Y 的联合密度函数。（ 其它，001 ),(xyexyxfx） 31、设随机向量（X，Y）在区域 D = ( x , y ) ：0 x 1 , y 2x 内服从均匀分布，求：（1）条件密度 f X Y ( x y ) ，f Y X ( y x ) ，并判断随机变量 X 与 Y 的独立性； （2）随机变量 Z = 2X + 1 的方差。
11、 （ （1）其它020, 102202, 1022)(xyxyyxxyyxfYX（2 y 2） ， 其它0241 )(xyxxyfXY（0 x 1） ，不独立 ； （2）2 / 9 ） 32、设随机向量（X，Y） 其它2ln0, 200),(yxeyxfy，试求（1）条件密度 f Y X ( y x ) ； （2）计算 P ( X + 2Y 1 ) 的概率值。 （ （1） 其它2ln002)(yexyfyXY（0 x 2） ； （2）12e） 33、设随机向量 (X,Y)的联合密度函数为： 其它010)(2),(xyyxyxf ，求（1）随机向量 ( X , Y ) 的边缘密度； （2）条件密
12、度 f Y X ( y x ) ； （3）X 和 Y 的协方差； （4）X 和 Y 的相关系数； （5）求 P X + Y 1 ； （6）方差 D ( X Y ) 。 （ （1） 其它1003)(2xxxfX ， 其它100321)(2yyyyfY ； （2） 其它xyxyx xyfXY003)(2 )(2（0 x 1） ； （3）1 / 48 ； （4）1295； （5）1 / 3 ； （6）1 / 18 ） 34、设随机向量（X，Y）的密度函数为: 其它xyxyxf 0, 20, 0,21 ),(，求： （1） 条件密度 f Y X ( y x ) ；（2） 概率 P Y X 2 和 41
13、 21XYP；（3） 协方差 cov ( X , Y ) ，并判断随机变量 X 与 Y 的独立性. （ （1）)20( ,00,1)(),()( xxyxxfyxfxyfXXY 其它； （2）1 / 12 ，1 ； （3）1 / 9，不独立 ） 35、设随机变量 X，Y 相互独立，P X = 0 = 0.6，P X = 1 = 0.4；P Y = 0 = 0.5， P Y = 1 = 0.5，求 E ( X Y ) 。 （ 0.2 ） 36、设随机变量 X1 、X2 、X3 相互独立，且 X i N ( i , i )，i = 1，2，3。 若 Y = 2X1 + 3X2 4X3 ，求 EY
14、和 DY。 （ 4；70 ） 37、 设随机变量 X 、 Y 相互独立， 服从指数分布， EX = 5， EY = 6， 求 E ( X Y )2 。 （ 62 ） 38、 设随机变量 X 、Y 服从参数为 的指数分布，且 X 与 Y 相互独立，求（1）D ( X Y ) ；（2）X 与 Y 的相关系数 X，Y 。 （ （1）2 / 2 ； （2）0 ） 39、 设随机向量 （X， Y） 服从二元正态分布 N ( 1， 2； 1， 4； 0.6 ) ， 求 E ( 2X Y )2 。 （ 3.2 ） 40、设随机变量 X 、Y 相互独立，且 X 服从 0，2 上的均匀分布，Y 服从标准正态分布。随机变量 11YXZ ，试求随机变量 Z 的数学期望 EZ 及方差 DZ。 （ 1；4 / 3 ） 41、二元随机向量（X，Y）的协差阵为 93 34，求 D ( 3
