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1、根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法第七节 (2) 二阶常系数非齐次线性微分方程I. 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 .(1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时
2、,可设特解解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程, 得原方程通解为例1解对应齐次方程通解特征方程特征根原方程通解为例2代入方程, 得原方程通解为法二解例3则由牛顿第二定律得解此方程得代入上式得利用欧拉公式注意上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方 程.解对应齐次方程通解代入原方程,得所求非齐次方程特解为原方程通解为例4法二对应齐次方程通解作辅助方程所求非齐次方程特解为原方程通解为（取虚部 ）代入辅助方程,得解对应齐次方程通解作辅助方程代入辅助方程例5所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意例6解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为由解得故原方程的通解为由即小结(待定系数法
3、)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.补充题:1. 写出微分方程的待定特解的形式. 解:设 的特解为设 的特解为则所求特解为特征根（重根）2.解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:3. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) . 解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为4. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通
4、解:原方程通解为5. 有特解而对应齐次方程有解微分方程的通解 . 解:故所给二阶非齐次方程为方程化为设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程故再积分得通解的解. 6.设函数内具有连续二阶导数,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 且解: 上式两端对 x 求导, 得 (1) 由反函数的导数公式知代入原微分方程得 (2) 方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解: 由初始条件 得故所求初值问题的解为 7.且满足方程解: 则问题化为解初值问题:最后求得8: 设解: 则有解初值问题: 得:练 习 题练习题答案
