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1、泊松过程的生成及其统计分析实验报告班级： 6041 姓名：韩丽媛学号： 3116036015 一、实验题目假设一个交换系统有M部电话，每个用户在很短的时间t（单位时间内）呼叫一次的概率为P；用户间呼入的时刻相互独立，当M很大，P很小时，时间 t 内到达交换机的呼叫次数构成泊松过程N(t) 。tek!t)(kN(t)-s)PN(tk1、确定此泊松过程的参数。2、利用计算机仿真 N(t) 的生成过程。注意合理选择M和 P，时间分辨率为一个单位时间t。3、为了比较生成的 N(t) 与理论模型的吻合程度。 取 N(t) 的多个样本并选取 3 个典型时间1t,2t,3t，得到)N(t1,)N(t2,)N
2、(t3三个随机变量的样本，在一张图上画出其直方图及理论分布曲线，并将两者对照。比较 M选取不同时的效果。注意：样本个数足够多。4、验证 N(t) 的增量平稳性。5、画出任意相邻两次呼叫间隔的直方图，和理论值进行对照。验证其与其它相邻两次呼叫间隔随机变量的独立性。二、实验过程1、确定此泊松过程的参数由题目容易知道， 在很短的时间t内 M个用户的呼叫一次的概率为MP ，而由 定义知道，t时间内到达交换机的呼叫一次的概率为t1N(t)-t)PN(t，故有tMP（1）从而有tMP。2、利用计算机仿真N(t) 的生成过程对每个用户，在t时间内呼叫一次的概率P很小，可以用 rand 函数生成 一组0,1
3、的随机数，当随机数小于P时，则认为有呼叫，将其置为1，否则认 为没有呼叫，置为0；有 M部电话，则生成 M组0,1 的随机数，对每组随机数 用上诉方法得到一个只有0 和 1 的逻辑矩阵，用来表示某一时刻是否有呼叫。下面是-610P,-310t,M=3000,总时间为 T=5的实验结果：图 1 N(t)的生成结果可以看到呼叫的计数过程，是递增的，并且可以计算，时间T=5内呼叫总次数平均为15tMPT, 多次时间结果最后的呼叫次数都在15 次左右。程序：clc clear close all p=10(-6); M=3000; dt=0.001; T=5; x=rand(M,T/dt); y=;
4、for i=1:M for j=1:T/dt if x(i,j)p x(i,j)=1; else 012345602468101214时 间 t次数x(i,j)=0; end end end y=(sum(x)=0); m=; m(1)=0; for i=1:T/dt m(i+1)=m(i)+y(i); end t=1:T/dt+1; t=t*dt; plot(t,m) 此外， matlab 中还有二项分布生成函数binornd ，可以用 x=binornd(1,p,M,T/dt)代替中间的两个 for 循环，这个函数的功能是对一个发 生概率为 P的事件随机试验一次，若发生置为1，不发生置为
5、0，此实验要对 M 个电话实验 T/dt 次，故生成的是 M行，T/dt 的矩阵，运行结果是一样的。3、比较生成的 N(t) 与理论模型的吻合程度（1）)N(t1,)N(t2,)N(t3的统计直方图和理论分布曲线下面是-6105P,-3103t,M=3000,总时间为 T=1.2， 选取时间 t1=0.3 ，t2=0.6 ，t3=0.9 作 2000次试验统计的实验结果：图 2)N(t1,)N(t2,)N(t3的统计直方图和理论分布曲线02468101200.050.10.150.20.250.30.35呼 叫 次 数相应呼叫次数发生的概率在图2中，圆圈代表)N(t1的统计直方图，正方形代表)
6、N(t2的统计直方图，五角星代表)N(t3的直方图。从图中可以看出，虽然有较小的误差，但是生成的N(t) 和理论模型还是基本吻合的。程序中主要用到了直方图统计函数hist ，生 成max(Nt1)-min(Nt1)个直方条间的间隔刚好是 1， 此时的坐标分别为 0.5 、 1.5 、 2.5 ，并且 0.5 的直方条包括了 0次呼叫和 1次呼叫的的概率， 1.5 、2.5 、3.5 等等依次代表的是 2次、3次、4次呼叫的概率，因而有了程序中的相关修正。程序：clcclearclose allp=5*10(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=1.2;loop=2000
7、;t1=0.3;t2=0.6;t3=0.9;for k=1:loop %作loop次试验x=rand(M,T/dt);for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)px(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendtt=dt*find(sum(x)=0)=1); %每次试验各个呼叫发生的时刻Nt1(k)=sum(ttt1); %每次试验在时间（0，t1 ）内呼叫的次数Nt2(k)=sum(ttt2);Nt3(k)=sum(ttt3);endN1,index1=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1);%（0，t1 ）内呼叫次数的统计直方图N2,index
8、2=hist(Nt2,max(Nt2)-min(Nt2);N3,index3=hist(Nt3,max(Nt3)-min(Nt3);index1=min(Nt1),index1+0.5; %作相关修正index2=min(Nt2),index2+0.5;index3=min(Nt3),index3+0.5;N1=sum(Nt1=min(Nt1),N1(1)-sum(Nt1=min(Nt1),N1(2:end);N2=sum(Nt2=min(Nt2),N2(1)-sum(Nt2=min(Nt2),N2(2:end);N3=sum(Nt3=min(Nt3),N3(1)-sum(Nt3=min(Nt
9、3),N3(2:end);p1=;p2=;p3=;for k=1:length(index1)p1=p1,(a*t1)index1(k)*exp(-a*t1)/factorial(index1(k); %理论值endfor k=1:length(index2)p2=p2,(a*t2)index2(k)*exp(-a*t2)/factorial(index2(k);endfor k=1:length(index3)p3=p3,(a*t3)index3(k)*exp(-a*t3)/factorial(index3(k);endstem(index1,N1/loop,r);hold onplot(i
10、ndex1,p1,r)hold onstem(index2,N2/loop,bs);hold onplot(index2,p2,b)hold onstem(index3,N3/loop,gp);hold onplot(index3,p3,g)hold on （2）比较 M 不同时的实验效果对于上面的参数， 我们选择 t2 时刻，M 分别取 1000、2000、3000得到)2t (N的统计直方图如图 3所示，圆形对应的是 M=1000 ，正方形对应的是 M=2000 ，五角星 对应的是 M=3000 ，从图3中可以看到，当 M 值增大时，直方图和；理论曲线都往 右移动，从理论上分析，在P和t不
11、变时， M 值越大，强度常数越大，相同时 间内呼叫的次数更多，所以在呼叫次数多的地方概率更大，曲线往右移动。图3 M 不同时的实验效果对比4、验证 N(t) 的增量平稳性增量平稳性数学表示为，对任何s和t ，PN(s+t)-N(s)=n=PN(t)=n，即在相 同时间内呼叫 n次的概率相等。下图是取了三个相等的时间间隔t200进行的呼 叫次数的直方图统计结果：图4 增量平稳性验证曲线02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4呼 叫 次 数相应呼叫次数发生的概率02468101200.050.10.150.20.25呼 叫 次 数相应呼叫次数发生的概率由于只需要
12、相同时间内呼叫相同次数的概率相同，为了简化程序和计算量， 在直方图统计中没有对第一个直方条进行修正，并不影响实验的结论，从图4中 可以看到，三个相等的时间间隔呼叫次数的概率分布曲线基本重合，说明相同 时间间隔内呼叫次数相同的概率基本相同，从而验证了增量平稳性。程序：clcclearclose allp=5*10(-6);M=3000;dt=0.003;T=1.8;loop=2000;for k=1:loopx=rand(M,T/dt);for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)px(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendy=(sum(x)=0);m=;m(
13、1)=0;for i=1:T/dtm(i+1)=m(i)+y(i);endNt1(k)=m(201)-m(1);Nt2(k)=m(401)-m(201);Nt3(k)=m(601)-m(401);endN1,index1=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1);N2,index2=hist(Nt2,max(Nt2)-min(Nt2);N3,index3=hist(Nt3,max(Nt3)-min(Nt3);plot(index1,N1/loop,r);hold on ;plot(index2,N2/loop,b);hold on ;plot(index3,N3/loop,g);h
14、old on ; 5、（1）画出任意相邻两次呼叫间隔的直方图，和理论值进行对照。由理论可知，任意两次的呼叫间隔的概率分布函数为负指数分布：tetf)(，下面是-6105P,-3103t,M=3000,总时间为 T=3， 选取第二次和第一次呼叫的时间间隔得到的统计实验结果：图5 呼叫时间间隔分布直方图 从图5中可以看出，相邻两次呼叫间隔满足负指数分布，与理论相符。编程 时，将时间间隔平均分在50个直方条中，在求理论值时，需要对负指数型概率 密度函数在每个直方条中求积分，需要注意的是积分的区间。程序：clcclearclose allp=5*10(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p
15、/dt;T=3;loop=3000;for k=1:loopx=rand(M,T/dt);00.20.40.60.811.21.41.61.8200.020.040.060.080.10.120.140.160.18时 间 间 隔相应时间间隔发生的概率for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)px(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendy=sum(x)=0;tt=dt*find(y=1);% for i=1:length(tt)-1% b(i)=tt(i+1)-tt(i);% endb(k)=tt(2)-tt(1);c(k)=tt(4)-tt(3);end
16、N1,index1=hist(b,50);dh=(max(b)-min(b)/100;stem(index1,N1/loop,r);hold onfor i=1:50t=(index1(i)-dh):0.001:(index1(i)+dh);l=a*exp(-a*t);q(i)=trapz(t,l);endplot(index1,q)Eb=sum(b)/length(b);Ec=sum(c)/length(c);Ebc=sum(b.*c)/length(b);Db=sum(b.*b)/length(b)-Eb2;Dc=sum(c.*c)/length(c)-Ec2;Covbc=Ebc-Eb*Ec;rov=Covbc/s
