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1、1 引言循环矩阵的概念是T Muir 于 1885 年首先提出来的，直到1950 至 1955 年，Good 等才分别对循环矩阵的逆、行列式及其特征值进行了研究1从此拉开了对循环矩阵各个方面的研究的历史近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃和重要的研究方向2-4它之所以引起广大数学研究者如此大的兴趣，主要是基于下面两个方面的原因：一方面循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛的应用，比如在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学等领域另一方面由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的
2、许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解多目标决策，二次型化简及平面几何学等本文主要利用循环矩阵的性质对其逆的求法、对角化、行列式计算等问题进行研究2 1、预备知识1.1 循环矩阵的概念定义 1.1 形如0121101221031230nnnnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa的矩阵称为循环矩阵定义 1.2 形如0100001000011000D的矩阵称为基本循环矩阵定义 1.3若12-1,na aa为复数域C上的n个数，n阶矩阵()ijAa满足：, ,1,2,jiij nj iaji ai jnaji即01221101322104312310nnnnnnnnnnaaaa
3、aaaaaaAaaaaaaaaaa称矩阵A为复数域上的n阶循环矩阵，简记为0121(,)nAC aa aa当12-1,na aa为实数域R上的 n 个数时，称矩阵A为实数域上的n阶循环矩阵，简记为0121(,)nAR aa aa3 1.2 循环矩阵的一些性质设基本循环矩阵为0100001000011000D显然，21,nnD DDDI（n阶单位矩阵）都是循环矩阵且21 0121+n nAa Ia Da DaD设21 0121( )+n nfxaa xa xax，则()Af D，此时00aa I性质 1.1 两个循环矩阵,A B的乘积仍为循环矩阵，且ABBA证明设21 0121+()n nAa
4、Ia Da DaDfD21 0121()n nBb Ib Db DbDg D因nkkDD（k为非负整数，0DI） ，因此，()()()()()ABf Dg Dg Df Dh DBA这里( )h x是一个不高于1n次的多项式，由此知AB是n阶循环矩阵，且ABBA性质 1.2 可逆的循环矩阵的逆矩阵仍是循环矩阵证明由性质 1.1 知，只要能找到循环矩阵1 0121()n nBb Ib Db DbDg D其中，0121,nb b bb为待定常数使得ABI即可，其中 A为可逆的循环矩阵：4 即：21 0121n nAa Ia Da DaD则：2121 01210121() ()nn nnABa Ia
5、Da DaDb Ib Db DbD001 12211100121()()+nnnnna babababIa ba ba bD1 1 02 13201()n nnnnabababa bD要使ABI，必须且仅须下列方程组成立001122111001122110213201100nnnnnnnnna bababa ba ba baba babababa b（1.1）以上方程组以0121,nb b bb为未知数，以TA 为系数矩阵（TA 表示 A的置换矩阵） 由于 A可逆，故0TAA方程组（1.1）有且仅有唯一的解0121,nb b bb，而B就是 A的逆矩阵， 且B也是循环矩阵性质 1.3 任何一个
6、循环矩阵A在复数域上都与一个对角矩阵相似证明由文献 5知，n阶循环矩阵 D 的特征值为22cossinkkkinn(0,1,2,1kn) (21i)由于()kjkj，由文献 6知， D 相似于对角矩阵011(,)ndiag即存在可逆矩阵 P，使得1PDP设21 0121+()n nAa Ia Da DaDf D，是任意一个n阶循环矩阵，则 A相似于对角矩阵011(),(),()ndiagfff事实上，1DPP1111 011()()()n nAf Df PPa Ia PPaP P5 1 011(),()()nP diagfffP2、循环矩阵的求逆循环矩阵的逆可以用初等变换法、伴随矩阵法、分块矩
7、阵法等一般的方法来求解，但作为一类特殊的矩阵，如果用这些方法来求逆未免太麻烦下面给出的方法比现有的方法简单，适用的范围更广定理 2.13设n维向量(1,0,0,0)Te,矩阵()BA e，对矩阵B进行初等变换，使矩阵A变成单位矩阵，如果e变为12(,)T nMMM，那么123112211 11322341nnnnnnnnnnMMMMMMMMMMAMMMMMMMMMM证明由于循环矩阵的逆为循环矩阵，因此可以设A的逆为12311221 1 11322341nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxAxxxxxxxxxx由于1AAE从而12,nx xx是方程组112211112211112312213
8、21111000nnnnnnnnnnnnnnnnnna xa xaxa xa xa xaxaxaxa xaxaxa xa xaxa x（21）的解此方程的系数矩阵就是A，增广矩阵为()BA e，根据方程组的理论只要将B进行初等变换，使矩阵A变成单位矩阵，如果e变为12(,)T nMMM，那么6 方程组（ 2.1）的解为1122,nnxMxMxM从而123112211 11322341nnnnnnnnnnMMMMMMMMMMAMMMMMMMMMM例 1 求矩阵1012210112100121A的逆解因为101221011210012112341000xxxx的解为123412113333T Tx
9、xxx从而111123333 21113333 12113333 11213333A定理 3.24设n阶循环矩阵的分块矩阵为1234AAAAA，其中1A 为12nm阶矩阵，则7 （1）A可逆的充要条件是4A 和1 1243AA AA为可逆矩阵（2）如果4A 和1 1243AA AA可逆且1 1243AA AA的逆为111212122212mmmmmmxxxxxxxxx，那么n阶循环矩阵的逆为1 11 2111 12 11 111113 11 2 13 1121114 11 21 311 12 11 1mkkmkmmmkkkxxxxxxxxxxmxxAxxxxxxxxxxxx（2.2）证明（1）
10、由分块矩阵的理论知1 24 0EA AE1234AAAA1 430EA AE=1 1243400AA A AA两边取行列式得1234AAAAA=1 41243AAA AA从而0A的充要条件是40A且1 12430AA AA（2）由于当4A 和1 1243AA AA可逆，A的逆为111 124 111111 4344324RRA AA AA RAAA R A A其中1 1243RAA AA，又因为1A为循环矩阵所以1A为（2.2）的形式根据定理 2.2 的（2） ，求n阶循环矩阵的逆可以进行分块，分块的原则是以12n阶顺序主子式为一块，共分成四块，这样就可以将n阶循环矩阵的逆转化8 成一个1 2
11、n阶循环矩阵的逆，从而给问题的解决带来很大的简便例 2 求1012331012231011231001231A的逆矩阵解根据定理（ 2.2）的结论（ 2） ，将矩阵A分块为1234AAAAA其中，12101233101223101AA，,341231001231AA，那么1 1243AA AA=81168911588，从而1-1 1243-1640-23 1=-9-16407719-9-16AA AA（）于是1164023199916402319 1199164023 77231991640402319916A9 3、循环矩阵的对角化问题3.1 循环矩阵的对角化n阶矩阵 A关于多项式函数( )
12、f x生成的矩阵为()f A，A的特征根与的()f A特征根有下面的结论：结论 3.1设( )f x是一个1n次多项式函数， 若是矩阵 A的特征根，则()f是矩阵( )fA的特征根结论 3.2 设( )f x是一个1n次多项式函数， 若矩阵 A相似于矩阵 B ，则矩阵( )fA相似于矩阵()f B考察n阶基本循环矩阵D，D的特征多项式为： 2101(),(1)njnjnjEDei如果n阶循环矩阵 A记为21 0121()n AnAfDa Ea Da DaD， 不难求得D与特征值j相应的特征向量，记：( )(1)1j jnjX，则2 ()( )(1)11jjj jjjjnjDXX由结论 3.1
13、得( )( )()()jjjj AAAXfD XfX可以验证11 (1)()(1)000,1(,)1,1nn mkmkmkkkmXXm将这个两两正交的向量( ) jX单位化，可得标准正交基10 (0)(1)(1)111,nXXX nnn令矩阵(0)(1)(1)1(,)nTXXX n11(1)(1)111111nnnnn则(0)(1)(1)11(,)nTTXXX n于是有下面的结论：结论 3.35任意n阶循环矩阵()AAfD在复数域C上都可对角化，即101(1)(,(),()n AAATATdiag fff)在一类n阶可对角化的相似矩阵中，如果对角化的矩阵为：011(,)nBdiag b bb由
14、结论 3.3，只要令()(0,1,2,1)j Ajfbjn即可得n个关于011,na aa的线性方程组又由于矩阵T及特征根由n阶矩阵K确定，且0T所以，多项式函数( )f x中的系数011,na aa是唯一确定的6于是，循环矩阵()AAfD是唯一确定的因此，可得出在一类可对角化的相似矩阵中，一定含有且仅含有一个循环矩阵否则，就不对角化. 下面以四阶循环矩阵举例说明：例 37求四阶循环矩阵1234412334122341A的特征根，并对角化 .解令23()1234f XXXX得11 ()AAfD，0100001000011000D由于 2inei，所以，A的特征根分别为：0123()10,()2
15、2 ,()2,()22AAAAffi ffi其中，11111111111211iiTii，1111111111111iiTii可以验证1(10, 22 , 2, 22 )TATdiagii3.2 一般矩阵对角化与循环矩阵的关系称多项式211 012( )nnf xaa xa xax为循环矩阵A的生成多项式定理3.18n阶矩阵P可以对角化的充要条件是P相似于一个n阶循环矩阵证明一方面，若n阶矩阵P与循环矩阵A相似，由于A可以对角化，所以P也可以相似对角化反过来，若n阶矩阵P可以对角化，总存在n阶循环矩阵A与之相似事实上，设1 12(,)nQPQdiag，若能得到A的生成多项式则A就被唯一确定了为
16、此令1(),0,1,1kkfkn即12 21 01020101 21 0112111221 0112111n n n nn nnnnnaaaaaaaaaaaa其中，0=1这个非齐次线性方程组的系数行列式是Vandermonde行列式，从而不等于0，于是该方程组有唯一解011(,)naaa，则( )f x被唯一确定此时1 121(1), (),(),()nTATdiagffff=12(,)ndiag即11TATQ PQ所以存在循环矩阵A与矩阵P相似定理 3.29设P和 Q是两个n阶复矩阵，则它们可以同时对角化（即1CAC和1CBC均为对角形）的充要条件是存在可逆矩阵C及两个多项式( )f x和( )g x使得1()PCf B C，1()QCg B C其中，B为基本循环矩阵4、循环矩阵的行列式计算及应用引理 4
