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1、第七十期（民國九十九年九月）：29-56.不同風險衡量下效率投資組合之比較分析許晉雄*鄒慶士*葉柏緯*摘要傳統投資組合理論主要的是以變異數來衡量風險，而其中又以 Markowitz (1952)提出的平均數-變異數投資組合模型最為著名，在此模型中，由於共變異 數矩陣的計算上較為困難且複雜，因此，Konno 及 Yamazaki(1991)另外提出了 平均數-平均絕對離差模型，此模型不但節省了計算時間，並且在求解最適投資 組合時，也不需要共變異數矩陣，所以降低了計算上的困難度。除此之外，亦 有許多學者分別提出不同的風險測量方式，如Markowitz(1959)提出了半變異數 (semivaria
2、nce)的觀念，而Estrada(2008)即以此半變異數為損失風險的觀念發展 出一種較簡易的平均數-半變異數模型；其次，Bawa及Lindenberg(1977)以左偏 動差(lowerpartialmoment)做為損失風險的觀念而發展出平均數-左偏動差模 型；另外，Rockafellar 及 Uryasev(2000)則以條件風險值(conditionalvalue-at- risk)為損失風險的觀念發展出平均數-條件風險值模型。綜觀上述不同風險測量 之投資組合模型，本研究以半變異數、左偏動差、平均絕對離差、條件風險值 來衡量投資組合的風險，與利用變異數來衡量風險作比較，分析其所求解出的
3、 最適投資組合之差異與進行相似度分析，文中發現在樣本內資料分析部分，*東吳大學財務工程與精算數學系副教授*國立台北商業技術學院企業管理系教授*國立台北商業技術學院商學研究所碩士第七十期MLPM 與 MSV 之間的相似度指數位居第一，而 MV 與 MMAD 之間的相似度指 數較高。關鍵詞：左偏動差、半變異數、絕對離差、條件風險值、投資組合績效壹、緒論近年來隨著金融商品多樣化，無論對一般或專業投資人，投資的管道也愈來愈多元性，其中股票更是投資人最常運用的理財工具之一。然而許多投資人在投資股票的時候，往往過度專注於某一支股票報酬率的高低，而忽略了高報酬必伴隨著高風險以及分散投資標的可為其降低投資風險
4、的事實。自從 Markowitz 提出了平均數-變異數投資組合模型（mean-varianceportfoliomodel，簡稱MV模型）後，便開創了投資組合的理論，也為上述的事實提出了合理的解釋方法。但是以傳統投資組合的變異數來衡量風險時，其所分析出來結果尚有缺失。因此，傳統以變異數（標準差）來衡量風險的方式，對於股市或其他金融商品的投資應用上不盡然合理。然而，現今不論是在財務研究議題上或是在實務上對投資者而言，變異數或標準差是廣為被一般大眾所使用的風險衡量方式(Evans, 2004)，但變異數或標準差並非唯一的風險衡量方式，在許多投資組合的相關文獻中，也有提供一些具有成效的風險衡量方式，
5、例如：半變異數、左偏動差、平均絕對離差、風險值、條件風險值等(Lee, 2007)。在傳統的Markowitz的理論架構下，風險的衡量往往是以變異數或標準差為主，此模式的概念是給予資產報酬的上方增值潛力與下方損失風險相等的重視，這與我們現實生活中，資產的下方風險才是投資人所關切的情形並不符合。所以Markowitz(1959)即針對此不合理現象作了修正，於是提出了半變異數（semivariance，簡稱 SV）的觀念，他指出以半變異數為基礎所尋找出來的投資組合優於以變異數為基礎的尋找方式，其原因在於投資者通常是關心低於預期績效部份而非高於預期績效部份。儘管Markowitz在其後續研究中並未對
6、半變異數的加以擴展，卻陸續有其他學者開始建構不同的投資組合選擇模型，如Estrada(2008)是利用半變異數來衡量資產的下方風不同風險衡量下效率投資組合之比較分析險，提出一簡便的方法來找出最佳投資組合。而另外一方面早在 1952 年Roy也就開始進行控制下方風險的研究，之後如 Bawa 及 Lingenberg(1977)利用左偏動差（lower partial moment，簡稱 LPM）來衡量資產的下方風險，Lucas 等人(1998)與 Campbell 等人(2001)是利用風險值（Value-at-Risk，以下簡稱 VaR）來衡量資產的下方風險，但 Artzer 等人(1999)
7、指出 VaR 本身並不符合次可加性的特質，意即表示 VaR 並沒有分散投資組合風險的特質，因此增加新資產部位反而有可能會增加投資組合風險值。因此本文另外參考Rockafellar及Uryasev(2000)所提出的條件風險值（conditional value at risk，簡稱 CVaR）來評估風險測量值。另外，從平均數-變異數投資組合模型的假設部分，其所具備的前題為資產報酬分配必須為常態分配，並且投資者具有一個固定的二次效用函數。然而，過去研究文獻證明了實務上資產的報酬並不服從常態分配的假設(Lee,2006)，且在 Lee(2007)的文獻中則認為假設所有投資者具有一個固定的二次效用函
8、數，並沒有一個可讓人信服的理由。再者，Markowitz 所提出的平均數-變異數模型在超過一千檔股票的資產下，由於共變異數矩陣的複雜度提高，因此，在二次規劃的求解過程中，不僅提升了計算上的困難度，也增加 了 求解的時間。有鑑於此，Konno 及 Yamazaki 利用分段線性風險函數(piecewise linear risk function)建 構 出 平 均 數- 平 均 絕 對 離 差 模 型（mean-meanabsolute deviation model，簡稱 MMAD 模型），其投資組合最適化的求解方式是透過線性規劃來取代在計算上較困難的二次規劃，不但降低計算上的困難度，同時也
9、節省了計算時間，並且與 MV 模型一樣可達到分散風險的目的(Konno and Yamazaki, 1991)。然而，前述學者們使用其他理論來發展投資組合的資產配置模型，不論是在理論或實務上比起平均數變異數模型更加優越的風險衡量。即使如此，平均數變異數模型仍是最廣為使用於求解資產配置問題，這是由於目前對於最適風險衡量的認定，仍尚未發展出可評價不同風險衡量方式的共同準則（Cheng 及 Wolverton, 2001; Byrne 及 Lee, 2004）。而在 Cheng 及Wolverton(2001)文章中，以不同的風險衡量方式來進行實證研究，在研究中指出了比較各模型間投資組合的困難點，他
10、們發現每一種模型所產生的效率投資組合，僅侷限於該理論模型架構中。除此之外，他們認為除非在不第七十期同風險衡量之間能夠發展出一套共同的評價準則，否則企圖尋找出能夠提供最優越的風險與報酬抵換之投資組合模型並沒有意義。在過去的文獻中，在做效率投資組合比較時，較注重的是目標空間上的比較，有鑑於上述作者的提醒，本研究擬參考Phillips(1993)所提供的分析觀點，透過不同風險的衡量模型在目標空間上所找到的效率投資組合，將其目標空間上的效率投資組合投射至相對應的決策空間中，比較其投資的資產種類與權重等相似性，以此來觀察不同風險衡量方式所產生的資產配置有何差異。因此，本研究綜合過去文獻，以變異數、半變異
11、數、左偏動差、平均絕對離差、條件風險值等方式來進行風險衡量，除了更加符合投資人對風險的態度，也更貼近實務上金融機構普遍使用上述衡量指標來衡量風險。此外，本研究還希望以不同的角度，將上述的風險衡量方式進行統整並作相似度分析。最後本文內容安排如下，首先在第二單元介紹不同風險衡量，於第三單元介紹在此些不同風險衡量下，最佳投資組合之推導，第四單元進行實務資料探討分析，並作出結論。貳、風險衡量一、變異數投資組合係指由一種以上的證券或資產構成的集合，投資組合理論的焦點在於如何使風險最低、報酬率最大，以及如何在風險與投資績效間作取捨。自從Markowitz(1952)提出平均數-變異數模型後，變異數（或標準
12、差）成為最廣為被學界與實務界廣泛使用的風險衡量(Evans,2004)。變異數是用來衡量實際報酬之平均數或是期望值的散佈情形，其風險是以變異數來衡量如下：()2211,1,.,1Tiiti tRiKT=其中 Rit為第 i 項資產於第 t 期之報酬率，i為第 i 項資產的平均報酬率，2 i為第 i 項資產之變異數，其中 T 為總共觀測的期數。二、半變異數雖然 Markowitz 的平均數-變異數模型廣為大眾所使用，但是使用變異不同風險衡量下效率投資組合之比較分析數來衡量風險，其隱含投資者對於實際報酬高於或低於預期報酬的態度是沒有差異的。然而許多風險趨避型的投資者通常所關切的風險是低於某個目標報
13、酬、預期報酬或基準點(benchmark)的部份，並且資產報酬不一定會服從常態分配，所以資產報酬為非常態分配時，下方風險是一個幫助投資者訂定適當決策的風險衡量指標。為了克服上述缺失，於是Markowitz(1959)提出了半變異數的概念，其風險是利用半變異數來衡量風險。由於半變異數是關注於實際報酬低於預期報酬的部份，因此，當 Ri為離散型資料時，則第 i 個資產的半變異數定義如下：=211(0,) ,1,.,1Tiiti tSVMinRiKT=三、左偏動差就下方風險而言，Roy(1952)為最早提出損失風險觀念的學者，他僅選擇當投資價值低於某一事前定義之損失水準的機率計算風險，此為目前眾所皆知
14、的損失風險計算方法之起源，直到Bawa(1975)及Fishburn(1977)提出左偏動差模型理論架構。此後，損失風險才有較正式的數學定義，其風險是以 n 階左偏動差來衡量，如下列數學式所表示：( ,)()(),1,.,n niiiLPMRRdF RiK=其中為目標報酬率(targetreturn)，F Ri為資產報酬率的機率密度函數。若 Ri為離散型資料，則 LPM 的數學式可表示如下：()11( ,)0,1,.,1nTniit tLPMRMaxRiKT=在第式中，當 n 0 時，LPM 則代表低於目標報酬率的機率(below-targetprobability)；n 1 時，LPM可視為
15、預期損失(expectedloss)；且 n 2 時，LPM則為低於目標報酬率的下方半變異數(below-targetsemivariance)，而Fishburn(1977)則證明了不同的 n 值可以描述投資人的投資行為，若 n 1，表示投資者是風險的愛好者(risk-seekingbehavior)，若 n 1，投資人屬於風險中立者第七十期(risk-neutral behavior)，若 n 1，則是風險趨避者(risk-averse behavior)，而且隨著 n 值愈大表示投資人愈厭惡風險。而另外目標報酬率可視為投資者對風險的心理認知，目標報酬設得越高，則越多下方風險會被視為風險，
16、所以投資者的風險承受能力越弱；反之，目標報酬設得越低，投資者的風險承受能力越強。四、平均絕對離差Konno(1990)指出，若風險衡量是將實際報酬與平均報酬或其他特定報酬相減後取平方的話，則對於樣本資料中的離群值較為敏感，會使得取平方後的離群值與平均報酬之間的差異更加擴大，進而影響到風險衡量的計算，但若將取平方的方式改成取絕對值時，則對於離群值較不敏感。因此，在計算投資組合最適化上，該學者建議利用平均絕對離差來進行風險衡量，其中第個資產的平均絕對離差的數學可表示如下：=11,1,.,1Tiiti tMADRiKT=五、條件風險值條件風險值又稱尾部風險值(tail VaR)、期望差額(expect shortfall)或平均超額損失(meanexcessloss)，則在信賴水準下的條件風險值，本研究以符號CVaR X 來表示，其數學式表達如下：xx yyy1()( )(1)( , ) ( )f,VaRCVaRfpd= x y且Pr()
