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1、常微分方程证明题及答案54 证 明 题（每题 10 分）1、设函数 f (t)在 ,)0上连续且有界，试证明方程dxdtxf t ( )的所有解均在 ,)上有界 . 证明：设x=x(t) 为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t00+)由一阶线性方程的求解公式有y xy ef s edsxxs xxx ( )( )()() 000 现只证 x(t) 在t0,+)有界，设 |f(t)| M ,t0+) 于是对 t0t0 4、设函数 y (x)在 ,)0上连续且可微，且lim()( ) xyxy x0试证lim( ) xy x0 5、若 y1(x),y2(x)为微分方程0)()()(2
2、1xpxyxpy的两个解，则它们的朗斯基行列式为w y ykepx dx(,)()121其中 k 为由 y1(x),y2(x)确定的常数6、求微分方程()()xyxyyx的通解7、解方程xdxxy dxxy dyxy()()2208、解方程()()xyxyyx9、解方程xdxxy dxxy dyxy()()22010、解方程23()()0yyyy11、已知( )f x是连续函数。（ 1）求初值问题0( )|0xyayf xy的解( )y x，其中a是正常数。（ 2）若|( ) |f xk（k为常数），证明当0x时有|( )|(1)axky xea。12、已知当1x时( )f x具有一阶连续导数
3、，且满足01( )( )0 1 (0)1x f xf xft dt x f常微分方程证明题及答案55 （1）求( )fx；（2）证明：当0x时有( )1xef x。13、设12( ),( )yxyx是方程( )( )yp x yq x的两个不同的解，求证它的任何一个解满足恒等式：121( )( )( )( )y xy xKyxy x（K为常数）14、当x时，( )f x连续且|( ) |fxM。证明：方程( )yyf x（1）在区间x上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数( )f x是以为周期的周期函数，则这个解也是以为周期的周期函数。15、设函数( ),( )f ug u连续可微，且(
4、 )( )f ug u，试证方程孙()()0yf xy dxxg xy dy有积分因子1()() ) x yfx ygx y16、证明方程( ,)( , )0M x y dxN x y dy具有形如( , )x y的积分因子的充要条件为1 ( , )MNNMfx yyxxy，并求出这个积分因子。17、证明贝尔曼（Bellman）不等式。设k为非负常数，( )f t和( )g t是区间t上的非负连续函数，且满足不等式( )()(),t ftkfsgs d st则有( )exp( )t f tkg s ds，t。18、设在方程“( )( )0yp x yq x y中，( )p x在某区间I上连续且
5、恒不为零，试证：它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I上的严格单调函数。19、假设1( )0x t是二阶齐次线性方程12( )( )0xa t xat x的解，这里1( )a t和2( )a t是区间 , a b上的连续函数。试证：2( )x t为方程的解的以要条件是12112,0W x xaW x x。其中12,W x x表示12( ),( )x tx t的朗斯基行列式。20、在方程“3 2( )yyyf x中，( )f x在 ,)a上连续，且lim( )0xf x。试证明：已知方程的任一解( )y x均有lim( )0 xy x。21、设( )f x为连续函数，且满足 0( )si
6、n()( )x f xxxt f t dt。求证：1( )sincos22xf xxx. 常微分方程证明题及答案56 22、设( )X t是常系数线性方程组( )( )dx tAx tdt的基解矩阵，适合条件(0)XE，试证对任何, t s成立等式()( )( )X tsX t X s. 23、 设( )X t是连续的n阶方阵，(0)X存在，且适合关系()( )( )X tsX t X s，|(0) | 0X. 试证：存在n阶常值方阵A，使得( )( )dX tAX t dt。证明题附加题1，设方程“( )( )0yp x yq x y中的( )p x和( )q x在 , a b上连续，且(
7、)0q x，试证：对方程任一非零解( )yy x，函数0( ) ( )( ) ( )xxp s ds f xey x y x为单调递增的。0 , xa b。2， 设函数( ),( )f xp x在0,)上连续，且lim( )0xp xa， 且|( ) |f xb（,a b为常数），试证：方程( )( )dyp x yf xdx的解在0,)上有界。3，若12( ),( )y xyx为微分方程12“( )( )( )0ypx yxpx的两个解，则它们的朗斯基行列式为1( )12(,)px dxW yyke，其中k由12( ),( )y xyx确定的常数。4，已知方程( ) )( )0p x uq
8、x u（1）其中( ),( )p x q x是 , a b上的连续函数，( )0p x，若( ), ( )u x v x为（ 1）的两个解，则( ) ( ) ( )( ) ( )p xu x v xu x v x恒等于常数。5。设( )f x是二次可微函数，且“( )( )( )0fxfxf x，证明：若( )fx在某不同两点处的函数值为0，则( )f x在该两点之间恒为零。6，设xye是微分方程( )xyp x yx的一个解，证明此方程满足条件ln 20xy的特解为11 2xexyee。7，设( )f x具有连续二阶导数，(0)(0)0ff，且曲成积分(sin )( )( )xLex ydx
9、fxf x dy与路径无关，证明：111( )cossin222xxfxexexx。常微分方程证明题及答案57 证 明 题 答 案1、证明：设x=x(t) 为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t00+)由一阶线性方程的求解公式有y xy ef s edsxxs xxx ( )( )()() 000现只证 x(t) 在t0,+)有界，设 |f(t)| M ,t0+) 于是对 t0t0,使当 x x0时,有|p(x)|M1| | |()yy eMxx 00|( )|()f s edsM s txx0|y0|+(eMx-eMx0)bMeM x|y0|+bMeMxx110()()常微分方
10、程证明题及答案58 |y0|+bM1即证3、证明：设y=y(x) 为方程的任一解，它满足某初始条件 y(x0)=y0,x0 ,)0由一阶线形方程的求解公式有yy efs edsa xxxxas x000()( )()yy eefs e dsa xxaxxxas000()( )两边取极限lim( )limlim( )()xxa xxxaxxx y xy eef s e dsas000=limxf s e dseasxxax( )0=limxfxeaebaaxax()4、证明：设y=y(x) 为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0 ,)0由一阶线性方程的求解公式有y xy ef s
11、 edsx xs xxx ( )( )()() 000y eef s e dsx xxsxx000()( )两边取极限lim( )limlim( )()xxx xxxxx y xy eef s e dss000=0+limxe f xexx( )5、证明：由朗斯基行列式定义有w yyyyyyy yyy(,)1212121212dwdx(y yyy1212)1=y yyypyyyypx w12121211()( )用分离变量法求解有w y ykpx dx()()121显然 k 为由yxyx12( ),( )确定的常数6、解：因MyNxNyyxyx所以方程仅有与X 有关的积分因子M(x)=exxd
12、x22则：dx e dxd x yx()()2320故：()xxex ycx23222常微分方程证明题及答案59 7、解：原方程化为yydyxxdx1123积分得1 221 2211LnyLnxLnxLnc()()故()()1122 12yxc x8、解：方程化为lnxydyyxdx0这是齐次方程，令y=ux，则有ln(ln)uduuudxx1-lnu-ln(1+lnu)=lnx+lnc 从而通积分cyyx1ln9、解：首先，易知均x= 1,y= 1 为方程的解 其次，由方程得到 xdxxydyy2210Ln xLn yLnc()()2211即()()xyc221110、解：分离变量得yydy
13、xxdx1123121111222dyyxxxdx()()积分得1 221 2211LnyLnxLnxLnc()()故()()1122 12yxc x11、证：（证法一） （1）原方程的通解为( )( )( )adxaxdxaxaxaxy xeCf x edxCeef x e dx记( )F x为( )axf x e的任一原函数( )( )axaxy xCeeF x。由0|0xy得到(0)CF。所以 0()()( 0 )( )xa xa xa ty xeFxFeft e d t（2） 001| ( ) |( )(1)(1)xxaxataxataxaxaxky xef t e dtkee dtk
14、eeeaa（证法二）（1）在方程两边乘以axe（积分因子）()a xa xa xy ea y efx e常微分方程证明题及答案60 从而() ()a xa xy efx e由( 0 )0f得到： 0( )xaxatyef t e dt即 0( )xaxatyef t e dt（2）证法同上12、解：（1）由题设知(0)(0)0ff。则(0)(0)1ff且0(1)( )( )xxfxf xf t dt令( )yf x两边求导得到(1)( “)0(1)xyyyx设( )yp x ()ypx得21dpxdx px两边积分得1l nl n (1)l npxxc 1xcype x 代入初始条件(0)(0
15、)1,1pfc故()(1) 1xefxxx （2）利用拉格朗日中值定理知：当0x时( )(0)( )01efxffxx在 0 和x之间于是( )(0)1f xf另外1() ()0(0 ) 1xxxxfxefxeeex x所以( )xf xe在(0,)单调增加， 而0( ) |(0)10x xf xef。故当0x有( )0xf xe。从而当0x时( )1xef x。13、证： 由通解公式知：任一解( )yy x可由公式()()( )( )p x x dxy xeCq x edx（1）表示， 其中 C 为( )y x对应的某常数。12( ),( )y xyx也应具有上述形式，设它们分别对应常数12
16、,C C且12CC，则由（ 1）式得112121( )( )( )( )y xy xCCKyxy xCC14、证： 方程（ 1）的通解为 0( )xxyeCf t dt（2）1）取0( )tCe f t dt（由假设知，此广义积分收敛），得解常微分方程证明题及答案61 ()( )xxty xeft e dt（3）则由(,)x，|( )|f xM易证|() |(,)y xMx此即为（ 1）的一个有界解。2）若( )()f xf x，对（ 1）中确定的解（3） ，当(,)x有()()( )xxty xef t e dt令tz，则上式右端为()()xxzeef zdz( )xxze ef z edz( )( )xxzef z e dzy x所以( )y x也是以为周期的周期函数。15、 证： 用乘方程两端， 得()
