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1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第七节 傅里叶级数一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率, 为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 定理 1. 组成三角级数的函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相
2、同的函数的乘积在 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 二、函数展开成傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 则有证: 由定理条件,对在逐项积分, 得山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂(利用正交性)类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂叶系数为系数的三角级数 称为的傅里叶系数 ;由公式 确定的以的傅里的傅里叶级数 .称为函数山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 定理3 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet
3、 )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有x 为间断点其中( 证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解: 先求傅里叶系数将 f (x) 展成傅里叶级数. 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近说明:f
4、 (x) 的情况见右图.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例2.上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂说明: 当时, 级数收敛于山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法其它山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例3. 将函数级数 .则解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时, f
5、(0) = 0 , 得说明:山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂设已知又山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例4. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂n1根据收敛定理可得 f (x)
6、 的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4 逼近 f (x) 的情况见右图.n5山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例5. 将周期函数展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解:是周期为2 的周期偶函数 , 因此山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F (x)f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f (x) 在 0 , 上展成山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例6. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂再求余弦级数.将则有作偶周期延拓 ,山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂说明: 令 x = 0 可得即山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂作业：p-315习题12-71(1) , (3) ; 2 (2) ; 5
