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1、数学实验报告学院：电子信息学院专业班级：信息工程电联班学号：姓名：实验名称：微分方程实验日期： 2016/04/19 M0M( x, y)S0Sxyd1 实验目的了解求微分方程解析解的方法了解求微分方程数值解的方法了解 dsolve,ode45 指令的使用方法2 实验任务1.用 dsolve函数求解下列微分方程（2）( )( )2 ( )(0)1,(0)0yxy xy xyy2. 我辑私雷达发现， 距离 d 处有一走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私舰立即以最大速度（匀速v）追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，则辑私舰的运动轨迹是怎么的？是否能够追上走私船？如果能追上，需要
2、多长时间？3 实验过程3.1 实验原理3.1.1 任务一dsolve( equation , condition, v) （1） equation 是方程式， condition是条件， v是自变量（缺省为t ）（2）若不带条件，则解中带积分常数（3）如果没有显示解，则系统尝试给出隐式解（4）如果无隐式解，则返回空符号。3.1.2 任务二以0S 为原点建立坐标系。 设缉私船出发的起点坐标为00（x ,y ） ，根据题意222 00xyd ，经过时间 t ，走私船到达 S(at,0) ，缉私船到达 M(x,y) ，追赶时，缉私船总是向走私船所在的位置追赶，设在 t+dt 时刻，缉私船到达(,)M
3、xdx ydy ，则 M,M ,S 三点一线，如图二所示。图 2 dt 时刻追击图 由图可知，0dyydxatx(1) 即M(x,y) 0S(,)Mxdx ydydxyatxdy(2) 此即缉私船的追辑模型。 方程（ 2）两边对 y 求导，得22d xdtyadydy(3) 又因为缉私船的速度恒为v，因此22 2dydxvdtdt(4) 即21dyvdtdxdy(5) 把方程（ 5）代入（ 3） ，并结合初始条件：000 00()()x yxxx yy，可知，求解模型（ 2） ，即求解如下模型2000 0 01()()yxkxx yxxxyy(6) 其中akv为常数。3.2 算法与编程3.2.
4、1 任务一y=dsolve( D2y=Dy+2*y , y(0)=1,Dy(0)=0, x ) 3.3.2 任务二3.2.2.1、 x=dsolve(y*D2x=k*sqrt(1+(Dx)2),x(y0)=x0,Dx(y0)=x0 /y0,y) 3.2.2.2 、定义微分方程句柄 function dx= odefun( y,x ) global c; dx=zeros(2,1); dx(1)=x(2); dx(2)=c*sqrt(1+x(2)*x(2)/y; end 3.2.2.3 、求微分方程的数值解 function ode( vc ) global c; %全局变量 hold on;
5、%保持图形窗口 tspan=1:-0.0001:-0.1; color=rgby; for i=1:length(vc); c=vc(i); y,x=ode45(odefun,tspan,-1 -1); plot(x(:,1),y,color(i); end axis(-1.1 5 0 1.1 ); legend(k=0.6,k=0.7,k=0.8,k=0.9); hold off; end 3.3 计算结果或图形3.3.1 任务一、y = (2*exp(-x)/3 + exp(2*x)/3 3.3.2 任务二当1akv时，方程（ 6）的解为1111 00 011( )21(1)21(1)kk
6、kkCyyCyyx yxkC kkC k(7) 当=1akv时，方程的解为22 00 01( )()ln42Cyx yxyyCy(8) 其中，22 000 1 0kxxyCy分析可知，当1k时，即缉私船的速度小于走私船的速度时，0lim yx，因此缉私船不能追上走私船。当 k1 时，即即缉私船的速度大于走私船的速度时，令 y=0,解得 走私船行驶距离为222 0000 2222=x aav xyx avdxaavav(9) 追上所需时间为0 22x avdTav(10) 在追上的情况下，我们取k 值分别为 0.6 ，0.7 ，0.8，09，作出 缉私舰的运动轨迹如图3 所示。-101234500.20.40.60.81k=0.6k=0.7k=0.8k=0.9图 3 缉私舰运动轨迹图3.4 结果分析3.4.1任务一所得的结果满足任务要求 . 3.4.2任务二所得的结果满足任务要求。4. 实验总结和实验感悟这次实验难度比以往的要大，主要是出现了解决应用问题的难点，需要自己理解题意后，找到该图具有的内部条件关系，再列出微分方程，最后利用函数解决。其中需要我们进行简单的分类讨论，根据不同的速度比值分析不同的结果，难度加大，在询问老师和同学后成功解决问题。细节方面还是有比较大的问题，比如Dx和dx 不分，画图时坐标轴的选定等，以后要提升。
